Algebra lineal

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Revista digital Matemática, Educación e Internet

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Introducción breve

Algebra lineal

Vectores, rectas,
planos y rotaciones
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Walter Mora F.

Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica

Versión 1.1 - Agosto 2011

VECTORES, RECTAS Y PLANOS.
VERSIÓN 1.0. JULIO 2011.

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Prof. Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Julio, 2011.

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Contenido

1

Vectores
1.1
1.13
1.15
1.24
1.30
1.32
1.38
1.44

2

Operaciones Básicas
Propiedades de los vectores
Producto punto y norma.
Ángulo entre vectores en R 3 .
Paralelismo, perpendicularidad ycosenos directores.
Proyección ortogonal
Producto Cruz en R 3
(*) El producto cruz solo existe en R 1 R 3 y R 7 .

Rectas y Planos en el espacio
2.1
2.7
2.9

3

1

R 3.

Rectas en
Distancia de un punto a una recta
Rectas en R 2

2
7
7
10
13
13
17
21
23
23
27
28
30

3.1
3.2
3.5
3.10
3.12
3.14
3.15
4

Planos.

30
30
33
36
37
37
38

Ecuaciónvectorial
Ecuación normal y cartesiana.
Paralelismo, perpendicularidad y ángulo
Intersección entre recta y plano.
Distancia mínima de un punto a un plano.
El punto de un plano más cercano a un punto dado.
Proyección ortogonal sobre un plano.

Rotación de un punto alrededor de una recta.

40

Bibliografía

42

Bibliografía

42

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1

VECTORES

A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos ( a, b) ∈ R2 se asocian con puntos de
un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a (0, 0) y cada ( a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta
horizontal(eje X ) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).

Figura 1.1

Punto ( a, b)

Analógamente, los elementos ( a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres
rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X ,
Y y Z).

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Figura 1.2Punto ( a, b, c)

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La dirección
de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)

Figura 1.3

Vector ( a, b)

Figura 1.4

Vector ( a, b, c)

→→→
Notación. Los vectores se denotaráncon letras minúsculas con una flecha arriba tales como − , − , − . Los
vyz
puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números reales
serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como α, β, k.



El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, 0)
Z

Los vectores están anclados en el origen. Sin embargo,...
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