Algebra lineal

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ESPACIOS
ESPACIOS VECTORIALES
EUCLÍDEOS
PRODUCTO
PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. MATRIZ
DISTANCIA.
DE GRAM
ORTOGONALIDAD
ORTOGONALIDAD
PROCESO
PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAMSCHMIDT
APROXIMACIÓN
APROXIMACIÓN
LINEAL
VECTORIALES EUCLÍDEOS

EN

ESPACIOS

1

Una
Una de las aplicaciones más interesantes en este capítulo es el método
de mínimos cuadrados. Confrecuencia, al tratar de comprender datos
experimentales, deseamos determinar una recta o una curva que
“encaje” o “se ajuste” más (o describa mejor) estos datos. Por ejemplo,
datos.
imaginemos que un profesor de álgebra lineal mantiene las estadísticas
(que se muestran a continuación) del porcentaje de notables otorgados
durante un período de 6 cursos.
cursos.
Curso
Porcentaje
de notables

10.20

2

3

0.25

0.20

4

0.30

5

0.45

6

0.40

Si el profesor quisiera trazar una recta que se acerque a los puntos en
la tabla tendrá muchas opciones. Sin embargo, hay una que se ajusta
opciones.
mejor a estos datos, bajo cierto criterio. En este capítulo veremos que
esa recta es y = 0.13333 + 0.05 x

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

2

3 PRODUCTO
PRODUCTO ESCALAR
Sea V un espacio vectorial real
es un producto escalar sobre V si :
1.2.3.4.es un espacio vectorial euclídeo
Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

4

-EJEMPLOS.1.- Producto escalar usual en
Para

vectores de

definimos:

vectores de

definimos:

2.- Otro producto escalar en
Para
Para

3.- Producto escalar usual en
Siendo
Fundamentos Matemáticosde laIngeniería

5

4.- Producto escalar usual en
Para

definimos:

5.- Producto escalar usual en
Para

definimos:

Siendo la traza de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su
diagonal principal.
principal.

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

6

-OBSERVACIÓN.- Otra forma (más cómoda) de calcular el producto
escalar usual de dos matrices cuadradas del mismoorden

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

7

6.- Producto escalar usual en
es el espacio vectorial de las funciones continuas en [a , b], y por
tanto integrables en [a , b].

Algunas propiedades del producto escalar.escalar.1 .El único vector de un espacio vectorial
euclídeo V que cumple que su producto
escalar con todos los vectores de V es
cero, es el vector nulo.
nulo.

2 .3.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

8

NORMA
NORMA Y DISTANCIA EUCLÍDEAS
Los conceptos geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad,
que son bien conocidos para
y
, se definen en este capítulo
para
y, en general, para cualquier espacio vectorial euclídeo V. Estos
conceptos nos van a proporcionar herramientas geométricas potentes
para resolver muchos problemasaplicados, incluidos los problemas de
mínimos cuadrados que hemos mencionado en la introducción. Los
introducción.
tres conceptos se definen en términos del producto escalar, también
denominado producto interior, de dos vectores.
vectores.

Sea

un espacio vectorial euclídeo

Norma
Norma o longitud de un vector.vector.
Distancia
Distancia entre dos vectores.vectores.-OBSERVACIÓN.Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

9

Propiedades
Propiedades de la norma.norma.1.2.3.4.Desigualdad de Schwarz*
5.6.Desigualdad de Minkowski o desigualdad triangular
Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería

10

*

Sobre la historia de la desigualdad Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky
Cauchy-Schwarz-

Se acredita a Cauchy1 la desigualdad para vectores y a Schwarz2 para los
productosescalares con integrales. Sin embargo, fue Bunyakovsky3 quien
integrales.
demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en una monografía, 25 años
antes que Schwarz.
Schwarz.
1 Augustin

Louis Cauchy (1789-1857) nació en París y murió en una villa cercana a esa misma ciudad. Es autor
1789-1857)
ciudad.
de trabajos importantes sobre ecuaciones diferenciales, series infinitas, determinantes,...
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