algebra lineal

Álgebra lineal
Prof: Leonid Fridman

Vectores y subespacios lineales
•

Vector: Un vector en Rn es una n-tupla de números reales

•

Espacio lineal: Un conjunto no vacío L de elementos x, y z, …
p
j
y,
satisface las siguientes condiciones:

q
que

1. Dado x,y en L esta definido univocamente un tercer
elemento z en L, llamado suma de ellos y denotado por
1. Conmutatividad
2.Asociatividad
3. Existencia de cero
4. Existencia de elemento opuesto

Vectores y subespacios lineales
2. Para cualquier numero a y cualquier x en L esta definido ax
de manera que
( ) ( )
1. a(bx) = (ab)x
2. 1 x = x
3. Las operaciones de adición y multiplicación están
relacionadas entre si mediante
1. (
2. 2
Ejemplos:
1) La recta numérica.
2) Espacio vectorial de n dimensiones Rn3) Funciones continuas sobre un segmento [a,b]

Vectores y subespacios lineales

• Dependencia lineal: El conjunto de vectores
p
j
linealmente dependiente si

es

es cierta para una colección
de
números reales no todos cero. Si, por ejemplo, a1 es
distinta de cero, entonces

Vectores y subespacios lineales
• Dimensión: La dimensión de un espacio es el número máximo de vectoreslinealmente independientes (
p
(i.e. en Rn hay maximo n vectores
y
linealmente independientes).
• Base: Un conjunto de vectores linealmente independientes tal que
cualquier vector en el espacio p
q
p
puede ser expresado como una
p
combinación lineal del conjunto.
Si

es una base, entonces

Defina una matriz cuadrada de nxn
entonces x puede ser expresado como

donde
lollamamos como la representación
de x con respecto a la base

Vectores y subespacios lineales
Asociaremos a cada Rn la siguiente base ortonormal

y con respecto a ella tenemos que

donde In es la matriz identidad.

Vectores y subespacios lineales
• Subespacio o span: el conjunto de todas las posibles combinaciones
lineales de

• El complemento ortogonal S de un subspacio S sub Cn se definecomo

donde los vectores

son ortonormales
ortonormales.

• Una matriz A en Cmxn puede ser considerada como una transformación
lineal

Vectores y subespacios lineales
• El Kernel o espacio nulo de una transformación lineal
define como

se

• La imagen o rango de una transformación lineal es

• La dimensión del subspacio Ker A = N(A)
de la transformación A, esto es

se conocecomo el defecto

Vectores y subespacios lineales
• Producto interno: El producto interno de dos vectores a,b
denota como

para el caso de a,b reales es equivalente

se

Vectores y subespacios lineales
• Norma de vectores: Cualquier función real de x , denotada por ||x||, es una
norma si cumple las siguientes condiciones
p
g
1. ||x||>0
2.

para todo x y ||x||=0

si y solo six=0.

, para cualquier a real.

3.
Hay normas típicas como

(
(norma euclidiana)
)

para toda x1 y x2.

Vectores y subespacios lineales
• Vector normalizado: Si su norma euclidiana es 1. Es decir
•V t
Vectores ortogonales: D vectores x1 y x2 son ortogonales si y solo si
t
l
Dos
t
1
2
t
l
i
l i

Un conjunto de vectores xi
j
ortonormales si

son

• Algoritmo deOrtogonalización: Dado un conjunto de vectores linealmente
independientes

Vectores y subespacios lineales
• Algoritmo de Ortonormalización: Dado un conjunto de vectores
linealmente independientes se puede obtener un conjunto
ortonormal siguiendo el siguiente algoritmo:

1. Normalizar e1.
2.
2 El vector ( ’ 2) es l proyección d e2 sobre q1. Al
t (q’e2)q
la
ió de 2 b
1
substraerlo dee2 queda la parte vertical u2 y se
normaliza.
.
.
.

Vectores y subespacios lineales

Vectores y subespacios lineales
Si A =
es una matriz de nxm, , m>n
columnas son ortonormales entonces

y si todas sus

Transformaciones de similaridad
• Una matriz A de nxn

.

• Dos bases ortonormales para Rn

• La columna i de A tiene su representación con respecto a la base i es
• La...