Algebra lineal

Álgebra Lineal en el contexto de Ingeniería Civil

ÁLGEBRA LINEAL EN EL CONTEXTO DE INGENIERÍA CIVIL
Duarte Ramos Ramón Enrique Universidad Autónoma de Sinaloa Jesús Alfonso Riestra Velázquez Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav IPN
Resumen Los cursos y textos de Álgebra Lineal son muy abstractos y ofrecen, en el mejor de los casos, problemas de aplicación muy artificiales,ajenos al área de conocimiento en la que se van a aplicar; sostenemos que enfocando el curso de Álgebra Lineal en el contexto en el cual se va a utilizar contribuiríamos a que el alumno se motive y a la vez se vaya introduciendo a las materias específicas de ingeniería, como el Análisis de Estructuras por ejemplo, materia de ingeniería civil donde existe un uso abundante de sistemas de ecuaciones ymatrices. En esta ponencia presentamos un problema de aplicación de los sistemas de ecuaciones y matrices el cual consiste en un sistema estructural compuesto por 4 barras coplanares que cuelgan de un techo horizontal unidas a éste mediante articulaciones; además están unidas entre sí mediante otra articulación (ver figura 1). Se trata de encontrar las fuerzas axiales en las 4 barras cuandosometemos al sistema estructural a dos cargas: una carga horizontal P1 y otra vertical P2, ambas aplicadas en la unión común de las barras. Aplicando las condiciones de equilibrio de la unión común se llega a A{N} ={P}, donde A es una matriz de 2×4 con los cosenos directores de las barras, {N} una matriz columna 4×1 con fuerzas axiales de las barras y {P} el vector columna 2×1 de cargas aplicadas. Lasrelaciones de compatibilidad geométrica conducen a At{δ } ={∆}, donde At es la transpuesta de A, {∆} matriz columna de las deformaciones en las barras y {δ } el vector columna de las componentes rectangulares del desplazamiento de la unión común. Por último, las relaciones entre fuerzas axiales y deformaciones de las barras (ley de Hooke), nos conducen a {N}=[k]{∆} donde [k] es una y matriz diagonalde 4×4 con kii= ki, la constante elástica de la barra i. Combinando adecuadamente estas tres 3 2 ecuaciones obtenemos la matriz {N}. 4 1

P1

O P2

x

Figura 1 Problema de Navier: Sistema estructural con 4 barras

Nuestra preocupación es la enseñanza del Álgebra Lineal en el contexto en la ingeniería civil. Es común que el maestro de las materias específicas de ingeniería no incluya ensus cursos los principios que subyacen a los algoritmos y reglas prácticas empleados en la solución de problemas; aunado a esto el maestro de las materias básicas las presenta en forma abstracta carente de significado.

Álgebra Lineal en el contexto de Ingeniería Civil

El problema de Navier que presentamos en este trabajo se aborda en los cursos de Mecánica de Materiales ofreciendo unamagnífica oportunidad de aplicar Álgebra Lineal permitiéndonos ilustrar ideas importantes de sistemas de ecuaciones y matrices. Este problema se refiere a un sistema estructural compuesto por 4 barras (puede ser cualquier número de barras) colgadas de un techo y unidas a una articulación común, en donde se aplican dos cargas P y P2 ; 1 se pide determinar las fuerzas en las barras. Las fuerzas internasN1,..,N4 de las barras pueden expresarse en función de las cargas P1 y P2 mediante el equilibrio del punto O. En la figura 2 se muestran las fuerzas que actúan en este punto; los signos negativos se deben a que las fuerzas en las barras, las cuales estamos suponiendo positivas a compresión, en el nudo aparecen de sentidos opuestos (tercera ley de Newton). Utilizando las condiciones de equilibrio ( −N1 ) cos α1 + ( − N 2 ) cos α 2 + ( − N3 ) cos α 3 + ( − N 4 ) cos α 4 + P1 = 0 ; (1) ( − N1 ) cos β1 + ( − N 2 ) cos β 2 + ( − N3 ) cos β 3 + ( − N 4 ) cos β 4 + P2 = 0 ó en forma matricial  N1     cos α1 cos α 2 cos α 3 cos α 4   N 2   P  1  cos β cos β cos β cos β   N  =  P  , 1 2 3 4 3  2     N4    (2) donde cos α i , cos β i son los cosenos directores del −N3 −N...