Algebra lineal

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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL
CON BASE A: LAY, DAVID C., “ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES”, ED. PEARSON-PRENTICE HALL

1. Sistemas de ecuaciones lineales:

Una ecuación lineal con las variables x1,…, xn es una ecuación que puede escribirse de la forma: a1 x1 + a2 x2 +…+ an xn = b. Donde b y los coeficientes a1,…, an son números reales o complejos, generalmente conocidos de antemano. Elsubíndice n puede ser cualquier entero positivo.

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de una o más ecuaciones lineales en las que intervienen las mismas variables.

Una solución del sistema es una lista (s1, s2, …, sn) de números que convierta cada ecuación en una afirmación verdadera cuando los valores s1, …, sn se sustituyen por x1, …, xn respectivamente. El conjunto de todas lassoluciones posibles se llama conjunto solución del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene ya sea:
1. Ninguna solución
2. Exactamente una solución
3. Un número infinito de soluciones

Al arreglo de un sistema en forma matricial sin incluir el vector de resultados, se le llamamatriz de coeficientes y se llama matriz aumentada cuando incluimos al sistema, el vector de resultados. El tamaño de una matriz nos dice cuántas filas y columnas tiene la matriz, de tal forma que una matriz m*n es una formación rectangular con m y n positivos. “m” nos indica el número de filas o renglones y “n” nos indica el número de columnas de la matriz.

Para la resolución de un sistema lineal,se utilizan tres operaciones básicas para simplificar un sistema lineal: reemplazar una ecuación por la suma de sí misma y un múltiplo de otra ecuación, intercambiar dos ecuaciones y multiplicar todos los términos de una ecuación por una constante diferente de cero.

Las operaciones elementales de fila son:
1. Reemplazo. Reemplazar una fila por la suma de sí misma y un múltiplo de otra fila.2. Intercambio. Intercambiar dos filas.
3. Escalamiento. Multiplicar todas las entradas de una fila por una constante diferente de cero.
Es importante notar que las operaciones de fila son invertibles. Si se intercambian dos filas, pueden regresarse a sus posiciones originales por medio de otro intercambio. Si se escala una fila por una constante “c” diferente de cero, entonces almultiplicar la nueva fila por “1/c” se obtiene la fila original.

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.
Para saber acerca de la existencia y unicidad de un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente hacernos dos preguntas:
1. ¿Es consistente el sistema; es decir, existe al menos unasolución?
2. Si existe una solución, ¿Es ésta la única; esto es, es única la solución?

Por ejemplo, para el siguiente sistema, una vez que aplicamos el Gauss-Jordan, tenemos un sistema consistente:

[pic] [pic]

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No obstante, en el siguiente sistema, una vez que aplicamos el Gauss-Jordan, tenemos un sistema inconsistente, pues tenemos que 0=1 (si lo hacemos a mano, seguramenteobtendremos 0=2.5). Esto se observa en el gráfico pues no existe intersección entre las 3 ecuaciones.
[pic] [pic]
[pic]
Además, se dice, que un sistema lineal es consistente si y solo si la columna del extreme derecho de la matriz aumentada no es una columna pivote, esto es, si y solo si una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma: [0….0 b], con b diferente de cero.Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solución contiene ya sea una solución única, cuando no existen variables libres, o un número infinito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre.
[pic]
Una matriz rectangular está en forma escalonada si tiene las siguientes propiedades:
1. Todas las filas diferentes de cero están arriba de cualesquier filas con...
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