Algebra Lineal

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ALGEBRA LINEAL
Curso 2007-2008

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Introducci´n
o

Se recogen aqu´ algunos comentarios que pueden servir como gu´ para entender la organiı
ıa
zaci´n de la parte pr´ctica de esta asignatura.
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a
1. Esta colecci´n de ejercicios y problemas modifica la que elaboraron los profesores de la
o
asignatura durante el curso 2000-2001 (Jos´ Luis Fern´ndez y Omar Gil).
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a
2. La mayordiferencia, aparte de que se ha ampliado ligeramente, es que parte de los
ejercicios est´n resueltos, o, al menos, se dan algunas indicaciones para su resoluci´n.
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Todo ello realizado por el profesor Rafael Hern´ndez el curso 2006-2007.
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3. Muchos de los ejercicios se adaptan al siguiente esquema:
(a) Planteamiento: Se trata de determinar los sistemas de ecuaciones lineales que
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hay queresolver. Gran parte de los ejercicios de Algebra Lineal se reducen, de
una forma u otra, a sistemas de ecuaciones lineales.
Es muy conveniente, y se pedir´ en los ex´menes de la asignatura, indicar
a
a
expl´
ıcitamente los argumentos que llevan del enunciado de un problema al sistema
de ecuaciones que debemos resolver.
Es claro que un planteamiento incorrecto no puede llevar, sino porpura casualidad, a un resultado correcto.
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(b) Calculos: Aqu´ se trata de resolver, generalmente mediante reducci´n gaussiana,
ı
o
el sistema de ecuaciones encontrado. Esta parte es la m´s mec´nica: la reducci´n
a
a
o
gaussiana es un algoritmo que, dado un sistema de ecuaciones, nos proporciona,
siempre, su soluci´n en forma de una parametrizaci´n.
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o
Dado que la reducci´n gaussianase realiza siempre de la misma forma, no repeo
tiremos esta parte para cada ejercicio, sino que utilizaremos directamente la
soluci´n.
o
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(c) Interpretacion: Supongamos que ya hemos calculado la parametrizaci´n de la
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soluci´n del sistema de ecuaciones.
o
En ocasiones, no est´ totalmente claro c´mo se obtiene la soluci´n al problema
a
o
o
inicial a partir de la soluci´n del sistemade ecuaciones. Esta es una etapa,
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en cierto sentido, sim´trica de la primera. Aunque se resuelva correctamente
e
el sistema de ecuaciones, si no se ha entendido bien el planteamiento, pueden
cometerse errores tontos en esta ultima parte del problema.
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4. Incluyo una lista de los c´lculos b´sicos que hay que aprender a efectuar en este
a
a
curso. De todos hay ejemplos resueltos en lacolecci´n, y conviene que indiqu´is, a la
o
e
izquierda de cada tipo en la lista, los n´ meros de los ejercicios en los que se explica
u
c´mo resolverlo.
o
Dado que se trata de c´lculos, todos los espacios vectoriales mencionados son kn , para
a
alg´ n n ∈ N y k el cuerpo de los n´ meros racionales o un cuerpo finito.
u
u
Resolver un sistema lineal y homog´neo de ecuaciones : Algoritmosde
e
Gauss y de Gauss-Jordan. Encontrar la parametrizaci´n de la soluci´n.
o
o
Resolver sistemas lineales de ecuaciones , no necesariamente homog´neos.
e
Efectuar correctamente las operaciones con matrices, y, en particular, el producto.
Invertir matrices invertibles.
Encontrar generadores
mog´neo de ecuaciones.
e

del subespacio soluci´n de un sistema lineal y hoo

Dado un conjuntofinito S de n-uplas, encontrar un sistema lineal y homog´neo de ecuaciones cuya soluci´n sea la clausura lineal < S > de S .
e
o
Encontrar generadores del anulador, < S >0 de < S >.
Decidir si un conjunto finito S de n-uplas es, o no, libre.

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Dado un conjunto finito S de n-uplas, encontrar una base de su clausura lineal
< S >. Calcular la dimensi´n de < S >. Ver los ejercicios 28 y 30.
oCompletar un conjunto libre de vectores a una base.
Decidir si dos subespacios, dados mediante generadores, son iguales. Decidir
si uno es subespacio del otro.
Calcular (generadores de) la intersecci´n de subespacios, con los datos en forma
o
de generadores o un sistema lineal y homog´neo de ecuaciones .
e
Calcular (generadores de) la suma de subespacios, con los datos generadores o...