algebra lineal





UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
CENTRO UNIVERSITARIO UAEM TEXCOCO

ALGEBRA LINEAL
Profesor: Alfonso
Investigación
“Transformaciones lineales”
Fecha de entrega:
19 Mayo 2015

ICO-I1

ALUMNO:
Hernández Ruiz Claudia
TRANSFORMACIONES LINEALES.
Conceptos fundamentales.
Transformación lineal.
Es la función típica entre dos espacios vectoriales, preservando la estructura lineal(operación y la acción) de los espacios en los cuales están definidas. También podemos llamarle función lineal. Por tanto tenemos que:

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Una función T: V  W es una transformación lineal si para cualesquiera dos vectores v, w, ϵ y para todo escalar ƛ ϵ F se cumple:

(TL1) T(v+w)=T(v)+T(w); cuales quiera sean y y w en F.
(TL2) T(ƛv)= ƛT(v).Cumpliendo también que:
a) T(0)=0;
b) T(-v)=-T(v).
También puede pasar que V y W sean iguales, y en este caso la transformación lineal T: VW también se denomina operador lineal sobre V.
Entonces toda transformación lineal T: VW transforma subespacios vectoriales de V en subespacios vectoriales de W.

Dominio.
Es el espacio vectorial V al cual se le aplicara la transformación.

Codominio.
Es elespacio W al cual pertenece el resultado de aplicar la transformación.

Recorrido.
T(v) es el recorrido de la transformación y es el subconjunto de W obtenido a partir de la aplicación de la transformación a cada elemento de V.

Núcleo.
Sea T: VW una transformación lineal, su núcleo de T es el subconjunto de V que consta de todos los vectores w tales que T(w)=0w.
Nota* Para algún vϵV, existewϵW llamado imagen de v en T, tal que T(v)=w.

Linealidad.
Recorrido de una transformación lineal.
RT de T es un subespacio de V cuya dimensión se llama el rango de T y se denota p(T).

Núcleo de una transformación lineal.
Dada una transformación lineal T: VW, el conjunto NT={vϵV: T(v)=0} es un subespacio de U y se llama núcleo de T; y su dimensión es la nulidad de T y se denota w(T)=0.Ejemplos.
Ejemplo 1. Transformaciones lineales.
Sea v=(v1, v2, v3) ϵ R3 un vector fijo. Con v≠0. La función Lv:R3R3 definida para cada x=(x1, x2, x3) ϵ R3 por LV: v x x, es una transformación lineal donde v x x es el producto vectorial dado por:
v x x= (v2x3-v3x2, v3x1-v1x3, v1x2-v2x1).
Ejemplo 2. Núcleo.
Hay que encontrar los vectores cuya imagen es (0,0), es decir, los (x,y,z) tales que (x+y+2z,3x+3y+6z) = (0,0) por tanto :


x+y+2z =0
3x+3y+6z=0
sistema compatible indeterminado cuya solución general es:
(2α, 2β, –α–β) : α, β ∈ ℜ
Estos son todos los vectores que forman el núcleo, es decir
Ker(f) = { (2α, 2β, –α–β) : α,β ∈ ℜ }
De esta expresión paramétrica podemos obtener una base de Ker(f): { (2,0,–1), (0,2,–1) } Por tanto la dimensión del núcleo es 2.
Observemos que se verifica lafórmula: 1 + 2 = 3.













Representación matricial de una transformación lineal.
Representa que para toda transformación lineal T: VW existe una matriz A de tamaño mxn con m=dimW y n=dimV.

Matriz asociada referida a dos bases cuales quiera.
Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un campo F, sea A = (a1, . . . , an) una base de V , sea B = (b1, . . . , bm) una base de W, ysea L ∈ T(V, W). La matriz de L en bases B y A (o matriz asociada con L respecto a las bases B y A), denotada por LB,A, se define como la matriz cuyas columnas son columnas de coordenadas de los vectores L(a1), . . . , L(an) en base B:
LB,A = (L(a1))B . . . (L(an))B . 2
Matriz de transición.
Sean B1 = {u1 , u2 , . . . , un } y B2 = {v1 , v2 , . . . , vn } son bases de un espacio vectorial V .Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B1 a la base B2, la matriz de dimensiones n×n, que por columnas es P = µ [u1]B2 [u2] 2 · · · [un]B2 ¶ , es decir, la columna i-´esima está constituida por las coordenadas en la base B2 , del vector ui de la base B1 . En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los...