Algebra Lineal

CONJUNTOS Y VECTOR TÍPICO
Los ejercicios en general no presentan conjuntos simples como por ejemplo P2 (polinomios de grado menor
igual a 2), mas bien presentan conjuntos más compuestos, por ejemplo:
S={ p(x) / p(x) ∈ P3 y p(-1)+p(1)=0 y p(0)-p(1)=0}
…supongamos que te preguntan ¿p(x)=1+x2 ∈ S ?... ¿Qué harías?
Si lo vas a trabajar así como te lo han definido, debes verificar si p(x) cumple conlas condiciones del
conjunto S
S={ p(x) / p(x) ∈ P3 y p(-1)+p(1)=0 y p(0)-p(1)=0}
condiciones del conjunto S

En nuestro caso, p(x) ∈ P3 (cumple) ; p(-1) )+p(1)=(1+(-1)2)+(1+(1)2)=4 ≠ 0 (no cumple)
por lo tanto: p(x) ∉ P3
Otra opción es hallar un vector típico, que es un vector genérico el cual cumple con todas las condiciones del
conjunto. En el ejemplo sería:
S={ p(x) / p(x) ∈ P3 y p(-1)+p(1)=0y p(0)-p(1)=0}
desarrollamos las condiciones…
p(x) ∈ P3
entonces p(x)= a+bx+cx2+dx3
(vector típico de P3)
2
3
2
3
p(-1)+p(1)=0
(a+b(-1)+c(-1) +d(-1) )+(a+b(1)+c(1) +d(1) )=0 (evaluando)
⇒ (a-b+c-d)+ (a+b+c+d)=0
⇒ 2a+2c=0
(condición desarrollada)
p(0)-p(1)=0
(a+b(0)+c(0)2+d(0)3)-(a+b(1)+c(1)2+d(1)3)=0 (evaluando)
⇒ (a)-(a+b+c+d)=0
⇒ -b-c-d=0
(condición desarrollada)
Con las condicionesdesarrolladas, obtengo un sistema
2a+2c=0
-b-c-d=0
2 ecuaciones 4 incógnitas, se escogen dos incógnitas como variables libres; escojo c y d resultando...
a=-c
b=-c-d
reemplazo lo que obtuve en el vector típico de P3, obteniendo…
S={ (-c)+(-c-d)x+cx2+dx3 / c,d ∈ R }
Vector típico de S

Este vector nos indica que el coeficiente libre debe ser el negativo del de x2 (o lo que es lo mismo que decir
que elcoeficiente de x2 debe ser el negativo del coeficiente libre) y que el coeficiente de x debe ser la suma
de los inversos aditivos de los coeficientes de x2 y x3. El vector típico no es único, basta con escoger otras
incógnitas como variables libres para obtener otro vector típico.
Veamos como se resuelve la pregunta ¿p(x)=1+x2 ∈ S ? utilizando al vector típico.
en este caso, c=1 y d=0, p(x) no mantiene laforma del vector típico ya que el coeficiente libre debería ser -1
y es 1; por lo tanto: p(x) ∉ P3
¿p(x)=1+x-x2 ∈ S ?
c=-1 y d=0, reemplazando dichos valores en el vector típico nos queda el mismo
p(x); entonces p(x) sí mantiene la forma del vector típico, por lo tanto: p(x) ∈ P3
En el vector típico obtenido (-c)+(-c-d)x+cx2+dx3 los coeficientes de x2 y x3 se les llama entradas del vector,
en unvector típico de la forma ax+(a+b) x2+bx3 los coeficientes de x y x3 serian las entradas y el, coeficiente
libre siempre tendrá el valor cero.

1

Halle el vector típico de:

W={A ∈ M3x3 / aij=0 para i>j}

Desarrollamos las condiciones…

⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎟
⎜
A ∈ M3x3
⇒ A= ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟
(vector típico de M3x3)
⎟
⎜a
⎝ 31 a 32 a33 ⎠
aij=0 para i>j ⇒
verificamos la condicion para cada elementodel vector típico de M3x3
a11 1>1 (no cumple) ⇒ a11 ∈ R
a23 2>3 (no cumple) ⇒ a23 ∈ R
a31 3>1 (cumple)
⇒ a31=0
a12 1>2 (no cumple) ⇒ a12 ∈ R
⇒ a32=0
a32 3>2 (cumple)
a13 1>3 (no cumple) ⇒ a13 ∈ R
a33 3>3 (no cumple) ⇒ a33 ∈ R
a21 2>1 (cumple)
⇒ a21=0
finalmente obtenemos:
a22 2>2 (no cumple) ⇒ a22 ∈ R
⎛ a11
⎜
W={ ⎜ 0
⎜0
⎝

Halle el vector típico de:

a13 ⎞
⎟
a 23 ⎟ / a11,a12,a13,a22,a23,a33 ∈ R }a33 ⎟
⎠

a12
a 22
0

S={A ∈ M2x2 / A=AT}

Desarrollamos las condiciones…
A ∈ M2x2
A=AT

a12 ⎞
⎛a
⎟
⇒ A= ⎜ 11
⎜a
⎟
⎝ 21 a 22 ⎠
a12 ⎞ ⎛ a11
⎛a
⎟=⎜
⇒ ⎜ 11
⎜a
⎟⎜
⎝ 21 a 22 ⎠ ⎝ a12

(vector típico de M2x2)

a 21 ⎞
⎟ de la igualdad de A con AT obtengo un sistema de
a 22 ⎟
⎠

ecuaciones
a11= a11 (trivial) ⇒ a11 ∈ R
a12= a21 (valida)
a12= a21 , a21 ∈R
a21= a12 (valida)
a22= a22 (trivial) ⇒ a11 ∈R
Al finalobtenemos…

⎛ a11
⎝ a 21

S={ ⎜
⎜

a 21 ⎞
⎟ / a11,a21,a22 ∈ R }
a 22 ⎟
⎠

2

Halle el vector típico de:

W={(a,b,c,d) / a-2d+c=0}

Desarrollamos la condición, en este caso, solo debemos despejar una variable…
a=2d-c (condición desarrollada) nos quedan c y d como variables libres, y además, como no existe
condición que involucre a la variable b, esta puede ser cualquier real, es decir b ∈ R
Al...