Algebra logica

El Álgebra lógica o de Boole
INTRODUCCION
A mediados del siglo XIX, el filósofo y matemático George Boole desarrolló una teoría matemática completamente distinta a la que entonces se conocía y cuya expansión ha sido tan importante, que en la actualidad se utiliza para la resolución y análisis de la mayoría de las operaciones industriales complejas. Tanto los procesos de fabricación como losequipos se han ido complicando a causa del progreso general y la constante evolución, hasta el punto de necesitar automatizar el control de la mayor parte de sus fases.
El álgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones tendientes a resolver los automatismos o procesos a ejecutar, obteniendo un conjunto de ecuaciones que deberán ser traducidas y llevadas a cabo por elementosmecánicos, hidráulicos, neumáticos, eléctricos o electrónicos.
La teoría de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir, que sólo tienen dos estados válidos posibles y que por otra parte son opuestos entre sí. Así, por ejemplo, el tratamiento que el álgebra de Boole permite que una lámpara sea considerada en sus dos únicos estados posibles: encendida o apagada; un interruptor sólo podráestar conectado o desconectado; un transistor, conduciendo o bloqueado; un relé, activado o desactivado; y así sucesivamente. No se admiten estados intermedios. El que sólo existan dos estados válidos para cada elemento en esta estructura matemática ha llevado a llamarla álgebra binaria y también álgebra lógica, pues los razonamientos que en ella se emplean son de carácter intuitivo y lógico.
Elálgebra de Boole es un sistema matemático usado en el diseño de circuitos lógicos, que permite representar mediante símbolos el objeto de un circuito lógico, de forma que su estado pueda ser equivalente a un circuito real.
El fin de un sistema matemático es, en principio, representar un grupo de objetos o fenómenos con símbolos, que definan las leyes que gobiernan sus funciones einterrelaciones, con un conjunto de estados y ecuaciones que se escriban de forma simbólica. De este modo, los símbolos del álgebra de Boole se usan para representar entradas y salidas de los elementos lógicos y los estados y ecuaciones se usan para definir puertas, inversores y circuitos lógicos más complejos. Una vez obtenida una ecuación básica, se puede simplificar para hallar el circuito cuyasinterconexiones sean las más simples y eficientes.
El álgebra de Boole difiere de la clásica en que ésta última cuenta con relaciones cuantitativas, mientras que aquella cuenta con relaciones lógicas. En álgebra clásica usamos cantidades simbólicas tales como X, Y, A y B para representar números. En la resolución de problemas algebraicos interesa conocer el valor de A, o si X es mayor o menor que Y, u otrainformación relativa a la cantidad. En el álgebra de Boole sólo se busca conocer uno de los estados posibles que puede tener cualquier término lógico. Por ejemplo, cuando usamos el álgebra de Boole en sistemas digitales, nos interesa conocer si un término vale 1 ó 0. También se les llama "verdadero" y "falso" a los dos estados posibles en esta álgebra de tipo filosófico.
La obtención de lasecuaciones lógicas que resuelven los procesos se deduce utilizando varias operaciones, para cuya comprensión se requiere el estudio de “la teoría de conjuntos".
TEORIA DE CONJUNTOS. CONJUNTO Y CONJUNTO UNIVERSAL
Se llama conjunto a una reunión de elementos que se caracterizan todos ellos por poseer una propiedad común. Así, dentro de los diodos semiconductores, forma un conjunto el de los diodos decapacidad variable denominados "varicap"; otro conjunto lo pueden formar los diodos de Zener. En el caso del primer ejemplo, todos sus elementos tienen una característica común: se trata de diodos semiconductores que se emplean como condensadores variables y en el segundo ejemplo se trata de diodos que disponen de una tensión de referencia llamada de Zener.
Siguiendo con los ejemplos anteriores,...