Algebra superior

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Álgebra Superior
Araceli Reyes Septiembre 2003

ii

Índice general
1. Método axiomático 1.1. Introducción al método axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Axiomas y Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Deducciones y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Conjuntos y Funciones 2.1. Terminología y notación de conjuntos .. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Propiedades de las operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . 2.3. Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Los 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. números naturales Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las operaciones entre naturales Demostraciones por inducción . . . . . . . . . .Definiciones inductivas . . . . . . . . . . . . . . Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Propiedades del orden. . . . . . . . . . . 3.7. Principio del buen orden . . . . . . . . . . . . . 3.8. Funciones y relaciones . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Dominio y contradominio . . . . . . . . 3.9. Clasificación de funciones . . . . . . . . .. . . 3.10. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . 3.11. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 5 5 6 7 9 9 9 10 15 15 17 17 18 19 19 20 21 23 25 25 25 29 29 29 34 34 35 37 39 43 43 44 47 49

4. Relaciones binarias 4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Matemáticas discretas 5.1. Relaciones entre conjuntos finitos . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5.1.1. Gráfica dirigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Representación matricial de una relación. . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Definiciones del álgebra matricial en general . . . . . . . . 5.2.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Operaciones entre relaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Propiedades delas relaciones y estructura de las matrices 6. Conteo 6.1. Principios básicos . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Suma y resta para contar . . . . . 6.2. Principio de inclusión y exclusión para dos 6.2.1. Producto y división para contar . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y tres conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ivÍNDICE GENERAL 6.2.2. Integración de los principios de suma y producto . . . . . . . 6.2.3. Miscelánea de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 58 61 61 61 62 63 65 68 69 71 71 73 74 75

7. Los 7.1. 7.2. 7.3.

números enteros. El anillo de los números enteros . . . . . . . . Propiedades de las operaciones entre enteros. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1.Algoritmo de la división . . . . . . . 7.3.2. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . 7.4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Teorema de factorización única . . . . . . . .

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8. Congruencias 8.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Bibliografía

Capítulo 1

Método axiomático
1.1. Introducción al método axiomático

El conocimiento matemático...
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