Algebra Vectorial Parte III

PARALELISMO
Es una aplicación del producto vectorial.
𝑎� y 𝑏� son paralelos si y solo si su producto vectorial es igual a 0� , es decir
�𝑎� 𝑥 𝑏�� = 0

Para que esto sea cierto, consideramos que �𝑎� 𝑥�𝑏� = |𝑎| |𝑏| 𝑠𝑠𝑠 𝜃 , que a� y b�

no son nulos y para que resulte �𝑎� 𝑥 𝑏�� = 0 , la única posibilidad es que sen Θ = 0 ó sea
Θ=00 ó 1800.

En ambos casos los vectores a� y b� son paralelos,

sólocuando Θ=00 los vectores tienen la misma dirección, y,
cuando Θ= 1800 tienen la dirección opuesta.

Cabe mencionar que a� 𝑥 a� = 0

Ejemplo

Usando el producto vectorial, demostrar que los vectores
•𝑎� = 3𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 y 𝑏� = −9𝑖 + 3𝑗 + 6𝑘 son paralelos
• Demostrar que si a� + b� + c� = 0� entonces 𝑎�𝑥 𝑏� = 𝑏� 𝑥 𝑐̅ = 𝑐̅ 𝑥 𝑎�

Página 1 de 6

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
Por medio del producto vectorial, sepuede calcular el área de un paralelogramo a
partir del siguiente razonamiento.
Considerando un paralelogramo que aloja en dos de sus lados concurrentes a los
vectores a� y b� como se muestra.
b�

ℎ =|𝑏|𝑠𝑠𝑠 𝜃

Θ

a�

á𝑟𝑠𝑎 = |𝑎�|�𝑏��𝑠𝑠𝑠𝜃

la altura del paralelogramo está dada por �𝑏��𝑠𝑠𝑠 𝜃, en tanto que su base es igual a |𝑎�|.

El área del paralelogramo será entonces igual a |𝑎�|�𝑏��𝑠𝑠𝑠𝜃 , que alrelacionarla con la
expresión �𝑎� 𝑥 �𝑏� = |𝑎| |𝑏| 𝑠𝑠𝑠 𝜃, se deduce que el módulo del producto vectorial

𝑎�𝑥 𝑏� es igual al área del paralelogramo en cuyos lados se alojan los vectores a� y b� , es
decir,á𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑠𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑜𝑠𝑜𝑜𝑔𝑟á𝑜𝑜 = �𝑎� 𝑥 𝑏�� = |𝑎�| �𝑏��𝑠𝑠𝑠𝜃.

Ejemplo

Calcular el área del triángulo cuyos vértices son: A = (1, -1, 2), B = (4, 5, -7) y C = (-1, 2,1)

Página 2 de 6

PRODUCTO MIXTO (TRIPLEPRODUCTO ESCALAR)
Dados tres vectores 𝑎� = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) , 𝑏� = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) 𝑦 𝑐̅ = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ) se llama
producto mixto de los tres vectores 𝑎� 𝑏� 𝑦 𝑐̅ al escalar 𝑎� ∙ �𝑏� 𝑥 𝑐̅�

Nota. Debeconsiderarse el orden indicado, caso contario no tiene significado alguno

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO

𝑐̅

𝑎�𝑥𝑏�

𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑎�𝑥𝑏� ∙ 𝑐̅

𝑏�

φ

Θ

𝑎�

Á𝑟𝑒𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑠 = �𝑎�𝑥𝑏��

Sabiendo...