Algebra Vectorial

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE YUCATAN

“ALGEBRA VECTORIAL”

CUARTO PARCIAL DEL CURSO DE ALGEBRA LINEAL 1°A

Elaborado Por: Antonio Jesús Ceballos López

ALGEBRA VECTORIAL
Vectores en R2 y R3
Un vector en R2 representado también por R x R son las parejas ordenadas (a, b) de números reales estas se representan como puntos en el plano cartesiano. Esto es R2= R X R = {(x, y)x, y, a losreales}.
Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales denotado por v=(x, y, z), geográficamente esta representado en el espacio por un segmento de recta dirigido, entonces R3 seria: R3= R2x R = {((x, y), z) x, y, z a los reales}.

Características de los Vectores en R2
El módulo de un vector es el número real que representa su longitud v=a2+b2
La dirección de v define un ánguloθ entre v y la dirección del eje horizontal x
(llamado también eje de las abscisas) en su sentido positivo. Dos vectores tienen igual
dirección si y sólo si sus ángulos respectivos con dicho eje son iguales. En tal caso se
dice que son paralelos. Está determinado por tan= ba
El sentido de un vector indica cual es el origen y cuál es el extremo de la recta. El sentido es comparableentre vectores paralelos:
Dos vectores paralelos u = (u1, u2) y v = (v1, v2) tienen igual sentido si con un
origen común generan la misma semirrecta. O bien desde un punto de vista algebraico y
en caso de componentes no nulas, si u1/v1 >0 y u2/v2>0. Si los cocientes son
negativos, sus sentidos son opuestos. (Además, al ser // resulta u1/v1 = u2/v2).
Así, un vector quedacaracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas. Se representa como un segmento orientado, conuna dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.

Características de los Vectores en R3
Segmento de recta dirigido sean P y Q dos puntos distintos en R3. Entonces el segmento de recta dirigido PQ es el segmento de recta que se extiende de P a Q. Dos segmentos de rectadirigidos son equivalentes si tienen la misma dirección y magnitud. Un vector en R3 es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado, y cualquier segmento dirigido PQ en ese segmento dirigido se llama una representación del vector. Entonces la magnitud de v=v=x2+y2+z2
Dirección en R3, La dirección de un vector v en R3 se define como elvector unitario u=v/v.
La dirección y el sentido de v quedan unívocamente determinados por los ángulos que forma v con cada uno de los ejes de coordenadas. Los cosenos de cada uno de dichos ángulos se denominan cosenos directores del vector.

Operaciones con los vectores

Producto por escalar

Sean un vector u de Rn, y un escalar α de R, se define el producto por escalar delvector u y el escalar α como αu= (αu1, αu2, …,αun)
El producto escalar produce alargamientos o contracciones sobre el vector u, estos dependen del escalar que interviene en la operación, esto es:
1. Si α > 1, entoces el vector αu tiene magnitud o norma mayor que la norma de u y conserva la dirección de u.
2. Si 0 < α < 1, entonces el vector αu tiene magnitud o norma menor que lanorma de u y conserva la dirección de u.
3. Si -1 < α < 0, entonces el vector αu tiene magnitud o norma menor que la norma de u y dirección contraria a la de u.
4. Si α < -1, entonces el vector αu tiene magnitud o norma mayor de u y dirección contraria a la de u.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores...