Algebra y trigonometria basica

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ALGEBRA Y TIGONOMETRIA De Wikipedia, la enciclopedia libre.
Teorema fundamental del álgebra

Introducción

Cualquier ecuación de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solución ya sea un número real o un número complejo.

Posiblemente extrañe un poco que exista preocupación en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no algebraicas que no tienen ninguna solución.

El teoremaque dice que toda ecuación algebraica tiene por lo menos una solución, a pesar de ser uno de los más importantes postulados de las matemáticas permaneció mucho tiempo sin demostración.

En vista de su importancia se le conoce con el nombre de Teorema Fundamental del Álgebra.

Jean Le Rond d'Alembert fué el primero en demostrarlo.

Sin embargo, había un punto defectuoso en su demostración, yera que d'Alembert asumía como verdadero un resultado de Cálculo diferencial que no había sido demostrado y que no tuvo demostración hasta un siglo después de escribir d'Alembert la suya.

Los exigentes y rigurosos matemáticos no permiten que sucedan cosas como éstas, así que se considera como el primer "demostrador" de este teorema a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien asombraba a suscolegas; escribió no una, sino cuatro demostraciones diferentes de este teorema, ninguna de las cuales es elemental.

Desarrollo: El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:

Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos , tiene exactamente n raíces no forzosamente distintas, es decir, contadas con su orden de multiplicidad.

Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tantotambién complejo)

X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2)

tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raices.

En otras palabras, todo

P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0

se puede factorizar completamente, así :

an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0.

Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raícesde polinomios reales:i es por construcción una raíz de X2+1.

Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i e 1 (es decir con los a + bi) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos.

Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos esalgebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raices de polinomios, que es la operación algebraíca por excelencia.

Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve.

Figuras destacadas en está labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas.

En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert– Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido).

Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo.Luego se factoriza la función P por X - r, done r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente P/(X-r), que es un polinomio de grado menor al de P.

Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).

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Etimológicamente, proviene del árabe (tambiénnombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Históricamente, el álgebra era la ciencia de las reducciones y las comparaciones; por reflejo en las matemáticas el álgebra es el dominio relativo a la resolución de las ecuaciones...
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