Algebra

Introducción

Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias. Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.

Símbolosy términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas. Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.
Los signos empleados en algebra son detres tipos:

1. De Operación. Suma ( + ), Resta ( - ), Multiplicación ( * ) y División ( / )
2. De Relación. Igual ( = ), Mayor que ( > ) y Menor que ( < )
3. De Agrupación. La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre lossímbolos de agrupación se encuentran: los paréntesis ( ), corchetes [ ], y las llaves { }

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción ( - ), multiplicación (×) y división (/). .

En algebra existen las cantidades Positivas y Negativas según se tomen en un sentido u en otro; podemos tomar cualquier sentido como positivo, pero una vezelegido, el sentido opuesto será el sentido negativo. El cero es la ausencia de cantidad, las cantidades positivas son mayores que cero y las negativas menores que cero.

Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacenprimero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno. Por ejemplo:

{2[3+ (6·5+2)]} = {2[3+ (30+2]} = {2[3+ (32)]} = [2[35]} = 70

Exponentes

La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).

Xn = X·X·X· · · · X

Reglas de los Exponentes

* Para multiplicarfactores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.
am∙ an=am+n

* Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual.
(am)n =amn

* En multiplicación
(ab)n =anbn

* En división
abn = anbn

Regla: | Ejemplo: |
am∙an=am+n | a2∙a3=a2+3=a5 |
(am)n=amn | (a3)4=a3∙4=a12 |
(ab)n=anbn| (ab)2=a2b2 |
abn= anbn | ab3= a3b3 |
aman= am-n | a4a2= a4-2=a2 |
(anbm)p=anpbpn | (a2b3)5=a2∙5b3∙5=a10b15 |
anam= 1am-n | a3a5= 1a5-3=122=14 |
a-n=1an a≠0 | a-2=1a2 |
Radicales (Raíces)

Un radical es una expresión en la forma: na que se lee "raíz n de b". Cada parte de un radical lleva su nombre; n es el índice y a es el radicando. El índice debe ser un entero positivo.Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.

Propiedades de los Radicales (Raíces) |
nan=a |
nan=a si n es impar |
nan=a si n es par |
nab= na∙nb |
nab=nanb |

Suma y Resta de Radicales (de raíces)

Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Losradicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando.
ab±cb=a±cb

Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo pueden ser indicadas. Se puede agrupar los términos semejantes del radical. Ejemplo:

52-18 =52-9∙2 =52-32=5-32=22

Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los...