Algebra

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
Constantes.
Teniendo en cuenta los apartes anteriores la ecuación diferencial
1 2 y¢¢ + a (x) y¢+ a (x)y = m(x)
es una ecuación desegundo orden, pero es
necesario hacer dos suposiciones: 1. los coeficientes son constantes 2.
m(x ) = 0 y por tanto esta será una ecuación diferencial homogénea con
coeficientes constantes.
Unaecuación homogénea tiene dos (2) soluciones independientes y por tanto es
necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden
presentar tres casos. Todo lo anterior según laestructura de la ecuación
característica (Ver lecciones anteriores).
CASOS:
1. Caso 1: Soluciones reales y distintas.
2. Caso 2: Soluciones iguales y reales.
3. Caso 3: Soluciones complejas yconjugadas.
Estudiemos ahora cada uno de los casos:
1. Caso 1. Soluciones reales y distintas.
Al resolver la ecuación característica se tienen las soluciones m1 y m2 entonces:
Solución general es
y Cem2x C em2x
1 2 = +
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones DiferencialesEjemplo: y¢¢ -16 y = 0
La ecuación característica es
m2 -16 = 0 Ecuación característica
Así que m = ±4 . Luego
1 4
1
y = em x = e x e
2 4
2
y = em x = e- x son
soluciones particulares de laecuación diferencial dada. Además, como estas dos
soluciones son linealmente independientes, la solución general es
4 4
1 2
y = C e x +C e- x
Ejemplo: y¢¢+ 6y¢- 7 y = 0
La ecuación característica esm2 + 6m - 7 = 0 Ecuación característica
Así que 1 2 m = -7,m =1. Luego
1 7
1
y = em x = e- x e
2 1
2
y = em x = e- x
son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, comoestas
dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
7 1
1 2
y = C e- x +C e x
2. Caso 2. Soluciones iguales y reales.
Al resolver la ecuación característica se tienen...