Algebra

UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si paratodo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.
Transformación lineal identidad

Homotecias
con
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representael cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados

Sedenomina nulidad a la dimensión del núcleo.
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.


Tres notas sobre notación.
1. Seescribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas secumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

5.2 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN
NÚCLEO (KERNEL) E IMAGEN
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

• Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio quetienen por imagen al vector nulo del codominio.
• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
• Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

• O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algúnvector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
.4.- La matriz de una transformación lineal y representacion matricial de una transformación lineal.
________________________________________
Estamos encondiciones de mostrar que cualquier transformación lineal de ℜn a ℜmpuede ser introducida mediante la multiplicación por una matriz adecuada.

Teorema 1. Sea T : ℜn → ℜm una transformación lineal, entonces existe una matriz A ∈ M ( m,n, ℜ) tal que T (v)= A• v,∀ v∈ℜn
Demostración. Antes de efectuar la demostración,es conveniente señalar que podemos “identificar” la n -upla(x1,x2,...,xn )∈ ℜn con lamatriz columna

esto se realizará con un isomorfismo que presentaremos posteriormente.
Sea E = {E1, E2,..., En} labasecan´onicade ℜn y E* = { E*1 ,E*2 ,...,E*m } base canónica deℜm.
Sea v =(x1, x2,..., xn )∈ ℜn ,entonces v se escribe como combinación de los vectores de E como v = x1E1, x2E2,..., xnEn ,así, aplicando la transformación lineal T obtenemos
T (v)= x1T(E1) + x2T(E2) + ••• +...