Algebra
Páginas: 9 (2053 palabras)
Publicado: 19 de junio de 2011
Números Complejos
El Nacimiento a partir de la Controversia
Los números que hoy llamamos "complejos" fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño enello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que "ciertas ecuaciones algebraicassólo tienen solución en nuestra imaginación" y acuñó el calificativo "imaginarias" para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución es un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solución. Para Leibnitz "el númeroimaginario es un recurso sutil y maravilloso del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.".
Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no seavanzó mucho en la comprensión de los números complejos.
El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon de la "naturaleza" de los mismos; no se preguntaron "¿qué es un número complejo?", sino que se dijeron "a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos". Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiadodentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido como Teorema Fundamental del Álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos.
El término, hoy usado de "números complejos" se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra "i" que Euler(1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.
Recordemos, finalmente, la afirmación de Hadamard "El camino más corto entredos verdades del campo real pasa con frecuencia por el campo complejo
El Cuerpo (ℂ;+,⋅)
Consideramos el Conjunto ℝ×ℝ={(a,b); a,b∈ℝ}
En este conjunto definimos las Leyes de Composición Interna
+:(ℝ×ℝ)×(ℝ×ℝ)↦(a,b)+(c,d)≡(a+c,b+d)
⋅ :(ℝ×ℝ)×(ℝ×ℝ)↦(a,b)⋅(c,d)≡(ac-bd,ad+bc)
Los elementos de la forma (a,0) lo identificaremos con elnº real a
(a,0)≡a
El elemento (0,1) lo denotaremos por i, es decir
(0,1)≡i
Se tiene entonces (0,1)⋅(0,1)=(0⋅0-1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(-1,0)=-1
Como (0,1)=i entonces i×i=-1i²=-1
de esta manera (a,b)=(a,0)+(0,b)
=a(1,0)+b(0,1)
=a+bi
Definición 5.1 Según lo anterior diremos que z=a+bi; a,b∈ℝ esun Número Complejo, cuya parte real es a y cuya parte imaginaria es b. Además z=a+bi se conoce como Forma Canónica, Cartesiana o Normal de un Nº Complejo
Estructura Algebraica de (ℂ;+)
La suma definida anteriormente, es una ley de composición interna, pues, la suma de dos números complejos es un número complejo
+:ℂ×ℂ↦ℂ...
El Nacimiento a partir de la Controversia
Los números que hoy llamamos "complejos" fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño enello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que "ciertas ecuaciones algebraicassólo tienen solución en nuestra imaginación" y acuñó el calificativo "imaginarias" para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución es un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solución. Para Leibnitz "el númeroimaginario es un recurso sutil y maravilloso del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.".
Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no seavanzó mucho en la comprensión de los números complejos.
El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon de la "naturaleza" de los mismos; no se preguntaron "¿qué es un número complejo?", sino que se dijeron "a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos". Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiadodentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido como Teorema Fundamental del Álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos.
El término, hoy usado de "números complejos" se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra "i" que Euler(1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.
Recordemos, finalmente, la afirmación de Hadamard "El camino más corto entredos verdades del campo real pasa con frecuencia por el campo complejo
El Cuerpo (ℂ;+,⋅)
Consideramos el Conjunto ℝ×ℝ={(a,b); a,b∈ℝ}
En este conjunto definimos las Leyes de Composición Interna
+:(ℝ×ℝ)×(ℝ×ℝ)↦(a,b)+(c,d)≡(a+c,b+d)
⋅ :(ℝ×ℝ)×(ℝ×ℝ)↦(a,b)⋅(c,d)≡(ac-bd,ad+bc)
Los elementos de la forma (a,0) lo identificaremos con elnº real a
(a,0)≡a
El elemento (0,1) lo denotaremos por i, es decir
(0,1)≡i
Se tiene entonces (0,1)⋅(0,1)=(0⋅0-1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(-1,0)=-1
Como (0,1)=i entonces i×i=-1i²=-1
de esta manera (a,b)=(a,0)+(0,b)
=a(1,0)+b(0,1)
=a+bi
Definición 5.1 Según lo anterior diremos que z=a+bi; a,b∈ℝ esun Número Complejo, cuya parte real es a y cuya parte imaginaria es b. Además z=a+bi se conoce como Forma Canónica, Cartesiana o Normal de un Nº Complejo
Estructura Algebraica de (ℂ;+)
La suma definida anteriormente, es una ley de composición interna, pues, la suma de dos números complejos es un número complejo
+:ℂ×ℂ↦ℂ...
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