Algebra

Unidad 2 Lugares Geométricos
Sección 2.2 La Línea Recta

Definición: Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una ecuación de dos variables, siempre y cuando dicha ecuación sea capaz de expresar la condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos queconstituyen dicha línea.
Una recta queda definida si se conocen dos condiciones, por ejemplo: dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o ángulo de inclinación) etc.

Formas de la ecuación de la recta
Ecuación de la recta que pasa por un punto A(x1, y1) y tiene una pendiente dada m:

y – y1 = m(x – x1)
[pic]

si la recta pasa por el origen, x1 = 0 y y1 = 0 la ecuación queda:

y= mx

[pic]

Ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en (0, b), siendo b la ordenada en el origen, es:

y = mx + b

[pic]
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es:

[pic]

[pic]
Ecuación de la recta que corta los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a, 0) para X, y B(0, b) para Y(Ecuación Simétrica).

[pic]

[pic]

Forma generalde la ecuación de la recta:

Ax + By + C = 0

Donde A, B y C son constantes arbitrarias, en donde A o B deben ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.
En caso de que B = 0 entonces A [pic] 0, la ecuación se reduce a:
Ax + C = 0 [pic] [pic]
La cual es la ecuación de una recta paralela al eje Y.
En caso de que B [pic] 0, dividimos la ecuación por B [pic] despejando ytenemos que [pic] pero esto esta en la forma y = mx + b la cual es la ecuación de una recta de pendiente [pic] cuya ordenada en el origen es [pic]
[pic]
Forma normal de la ecuación de la recta:

Una recta también queda determinada si se conoce la distancia d de la perpendicular trazada desde el origen a ella y el ángulo [pic] que forma la perpendicular con el eje X.

[pic]

Ecuación normalde recta:
[pic]
donde d es un numero positivo, que representa a la longitud de la perpendicular trazada desde el origen a la recta y [pic] es el ángulo positivo menor a 360º medido a partir de la parte positiva del eje X a la perpendicular.

La forma general de la ecuación de una recta Ax + By + C = 0 puede reducirse a la forma normal dividiendo cada término de la forma general por:
[pic] endonde el signo de r se escoge como sigue si C[pic] el signo de r es el contrario al de C. Si C = 0 y B [pic] r y B tienen el mismo signo. Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo. Quedando la forma normal de Ax + By + C = 0 así:

[pic]

en donde cos [pic]=[pic]; sen [pic]=[pic] y d = [pic]

Distancia de un punto a una recta: para determinar la distancia dp de un punto (x1, y1) a unarecta L, se traza la recta paralela L1 que pase por el punto (x1, y1). La ecuación normal de L seria: x cos[pic] + y sen[pic] - d = 0, la de L1: x cos[pic] + y sen[pic] - (d + dp) = 0, ver grafico:

[pic]

El punto de coordenadas (x1, y1) satisface la ecuación de la recta L1 por lo que: x1 cos[pic] + y1 sen[pic] - (d + dp) = 0, despejando dp = x1 cos[pic] + y1 sen[pic] - d.
En caso de que elorigen y el punto (x1, y1) estén a distinto lado de la recta L, la distancia dp es positiva, si estuviera del mismo lado de L dp es negativa.

Ejemplos:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene de pendiente 2.
Solución: aplicamos la ecuación punto-pendiente y – y1 = m(x – x1), sustituimos los valores quedando y – 5 = 2(x – 1) [pic] y – 5 = 2x -2 [pic] 2x– y + 3 = 0

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45º.
Solución: pendiente m = tg 45º = 1, y + 3 = x + 6 [pic] x – y + 3 = 0.

3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje Y es -2.
Solución: aquí aplicamos la ecuación y = mx + b [pic] y = -3x – 2 [pic] y +3x + 2 = 0

4. Hallar la...