Algebra

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Vectores en R2 y R3

Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector esun punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).

En R2:

1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores enR2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

2. el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2).

Veamos elsignificado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
[pic]

Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores
a + b = (a1, a2) + (b1, b2)= (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama laregla del paralelogramo.

[pic]

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.En R3:

1. la suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

2. el producto escalar sedefine por: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3).

Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1, b2, b3,…, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes,esto es:
a ∙ b = = (a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 + … + an · bn).

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

Ejemplo (para discusión): Halla el...
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