Algebra

MATEMÁTICA I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO
FACULTAD DE CIENCIAS APLICADAS A LA INDUSTRIA
Ingenierías y Profesorado

MATERIAL DE APOYO

ANÁLISIS COMBINATORIO
Considerando los elementos de un conjunto, se trata de saber, cuales y cuántos son los distintos
ordenamientos o agrupaciones que se pueden obtener con los elementos de un conjunto, de
manera tal que todos y cada uno de ellos(ordenamiento o agrupaciones) tenga el mismo número
de componentes.
Interesa además, saber calcular su número sin necesidad de formarlos y contarlos.
Para resolver el problema fundamental del análisis combinatorio se prescinde de la naturaleza de
los elementos, pero no de su ordenamiento, pues en algunos casos resulta imprescindible.
En combinatoria se utilizan y definen “tres” formas o métodos deobtener los distintos
ordenamientos o agrupaciones; cada uno de los cuales posee características propias, que surgen
de las condiciones impuestas en la definición.
Estos tres métodos o formas de agrupaciones son: “variaciones”, “permutaciones” y
“combinaciones”, las cuales a su vez cada una de ellas pueden ser: “simples” o “con
repetición”.
ANÁLISIS COMBINATORIO SIMPLE
1. VARIACIONES,ARREGLOS O DISPOSICIONES
Dados “m” objetos a, b, c,……., h, k, l, llámese variaciones, arreglos o disposiciones de los “m”
objetos tomándolos de a “n”, o tomados de “n” en “n” o n-arios (siendo n≤m), a los grupos de
objetos que se pueden formar de modo que:
1) En cada grupo entran “n” de los “m” objetos.
2) Dos grupos se consideran distintos cuando difieren, o bien en alguno de los objetos, obien en el orden que van colocados.
Si son “m” los elementos y “n” el número de orden (número de elementos de cada grupo) las
n
n
variaciones las simbolizaremos: Vm,n o Vm . (Otras notaciones utilizadas son Am,n o Am o bien

Dm,n o Dn )
m
Por ejemplo, dados los elementos a, b, c, d, donde m = 4, se tienen:
Variaciones Monarias: grupos tomados de a 1 elemento, es decir V4,1 . Ellas son:
(1)a

b

c

d

4 grupos distintos

Variaciones Binarias: grupos tomados de a 2 elementos, es decir V4,2 . Ellas son:
ab

ad

ba

bc

bd

ca

cb

cd

da

(2)

ac

db

dc

12 grupos distintos

Variaciones Ternarias: Si se toman los grupos de 3 en 3, es decir V4,3 . Ellas son:
abc

acb

acd

adb

adc

bac

bad

bca

bcd

bda

bdc

cabcad

cba

cbd

cda

cdb

dab

(3)

abd

dac

dba

dbc

dca

dcb

24 grupos distintos

Finalmente, si se toman grupos de 4 en 4, tendremos
Profesor Rubén Lanieri
(Colaboración: Sandra Dimarco y Estela Simonovich)

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MATEMÁTICA I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO
FACULTAD DE CIENCIAS APLICADAS A LA INDUSTRIA
Ingenierías y Profesorado

MATERIAL DE APOYOANÁLISIS COMBINATORIO
Variaciones Cuaternarias: es decir V4,4 . Ellas son:
(4)

abcd

abdc

acbd…………

...............................................
...............................................

24 grupos distintos

...............................................

En cada uno de los cuatro cuadros, se observa que cada arreglo es distinto de los demás porque
varía el orden o porqueposee algún elemento diferente.
Formación de los arreglos o variaciones
Dados “m” objetos: a, b, c, d,……., k, l
En primer lugar, los arreglos de a uno, son los elementos mismos:
(1)

a, b, c, d,……., k, l

Para formar los arreglos binarios de los “m” objetos, tomemos cada arreglo de a uno y
coloquémosle después cada uno de los restantes objetos. Por el arreglo “a” que figura en (1) seobtiene: ab, ac, ad,……ah, ak, al, y así también de los demás. En consecuencia todos los arreglos
binarios se pueden escribir en un cuadro:
ab, ac, …………....ak, al
ba, bc, …………....bk, bl
…………………………...
(2)

…………………………...
ka, kb, …………....kh, kl
la, lb, ………….......lh, lk

Para formar los arreglos de a tres, se usa el mismo procedimiento: a partir de cada uno de los
arreglos de (2) se le...