Algebra

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TRABAJO GLOBAL DE ÁLGEBRA

INDICE DE CONTENIDOS:

1) Realícese un estudio sobre las ecuaciones en diferencias, analizando su clasificación, el cálculo de sus soluciones y su utilidad para generar modelos de las Ciencias y la Ingeniería.

2) Realícese un estudio sobre espacios vectoriales euclídeos, analizando lo que significa el producto escalar euclídeo, la norma euclídea, ladistancia euclídea, el concepto de ortogonalidad, de bases ortogonales y ortonormales, y describiendo el método de ortogonalización de Grand-Schmidt y la obtención de la proyección ortogonal.

3) Defínase lo que son aplicaciones ortogonales, transformaciones ortogonales, matrices ortogonales y descríbase un método de diagonalización de matrices cuadradas simétricas.

4) Realícese un estudiosobre los aspectos más relevantes de la Geometría en espacios afines y en espacios euclídeos, y sus aplicaciones en la Ingeniería.

1) Realícese un estudio sobre las ecuaciones en diferencias, analizando su clasificación, el cálculo de sus soluciones y su utilidad para generar modelos de las Ciencias y la Ingeniería.

Índice

1. Aplicaciones ortogonales

2. Matrices ortogonales3. Transformaciones ortogonales

4. Diagonalización de matrices

5. Método de Jacobí

6. Conclusión

7. Bibliografía

1. Aplicaciones ortogonales

Se llama aplicación ortogonal a un endomorfismo f : V V sobre un espacio vectorial
Euclideo (V, <· , ·>) que conserva el producto escalar, es decir que:

<f(u), f(v)> = <u, v> , ∀( u; v )∈ V
TeoremaLos autovalores reales de una aplicación ortogonal solo pueden ser 1 o -1.

Demostración: Si μ∈ R es un autovalor de la aplicación ortogonal f : V V , existen
autovectores no nulos v ∈ V tales que f(v) = μ v.
Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan la norma:

Ejemplo de aplicaciones ortogonales
Sea Rn con el producto escalar usual respecto de su base canónica.

1. En R2,el giro de centro el origen y ángulo ® es una aplicación ortogonal. Usando números complejos, la imagen de x + iy mediante un giro centrado en el origen de ángulo α es:

y, volviendo al plano R2, la ecuación del giro en la base canónica es:

2 Matrices ortogonales

Definición: Si A ∈ Mnxn (R) es una matriz ortogonal se cumple que At·A=I, y tomando determinantes:

Nota: El determinantede las matrices ortogonales es 1 ( en este caso se llaman ortogonales directas) o -1 (en este caso se llaman ortogonales inversas).
Si multiplicamos dos matrices ortogonales obtenemos otra matriz ortogonal.
La traspuesta de una matriz ortogonal también es ortogonal.
La inversa de una matriz ortogonal también es ortogonal

1.1 Teorema

Sea A = M(f,B) la matriz de la aplicaciónortogonal f : V V respecto de una base
ortonormal B de (V; <·,·>). Entonces:

La aplicación f es ortogonal ↔ La matriz A es ortogonal

Demostración: Basta observar que:

3 Transformaciones ortogonales

En Geometría y Álgebra lineal, una transformación de un espacio prehilbertiano en sí mismo —donde representa el producto escalar en E— es ortogonal cuando es una aplicación lineal de E en símismo (un automorfismo) de forma que cualesquiera que sean los se cumple que .
En particular, el conjunto E puede ser un espacio euclídeo.
En caso de que E sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, se dirá que es transformación unitaria

4. Diagonalización de matrices

El problema de diagonalización de matrices consiste en, dada una matrizcuadrada A, de dimensión n×n, encontrar una aplicación lineal S que reduzca A a la forma diagonal mediante la transformación similar S−1 ·A· S, es decir
S−1·A·S = Λ

donde Λ es una matriz diagonal. El algebra elemental da la siguiente prescripción para encontrar dicha transformación lineal:

1. Resolver la ecuación característica dada por la anulación del determinante de:
| A− λI | = 0...
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