Algebra

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.

Ejercicios

1.- Determinar cu´les de las siguientes aplicaciones son lineales: a (i) f : R3 → R2 definida por f ((x, y, z)) = (x − y, y + 2z). (ii) f : R3 → R2 definida por f ((x, y, z)) = (x − y 2 , y + 2z). Soluci´n. (i) Es lineal ya que, para todo (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 y para todo α, β ∈ R, se cumple o f ((α(x1, y1 , z1 ) + β(x2 , y2 , z2 )) = f ((αx1 + βx2 , αy1 + βy2 , αz1 + βz2 )) = = (αx1 + βx2 − αy1 − βy2 , αy1 + βy2 + 2αz1 + 2βz2 ) = = (αx1 − αy1 , αy1 + 2αz1 ) + (βx2 − βy2 , βy2 + 2βz2 ) = = α(x1 − y1 , y1 + 2z1 ) + β(x2 − y2 , y2 + 2z2 ) = = αf ((x1 , y1 , z1 )) + βf ((x2 , y2 , z2 ))

(ii) No es lineal ya que f ((0, 1, 0) + (0, 2, 0)) = f ((0, 3, 0)) = (−9, 3) ̸= (−1, 1) + (−4, 2) = f ((0,1, 0)) + f ((0, 2, 0)).

2.- Se considera f : R2 → R3 aplicaci´n lineal tal que f ((1, −1)) = (−1, −2, −3) y f ((−3, 2)) = (0, 5, 3). o Determinar, si es posible, f ((x, y)) donde (x, y) ∈ R2 . Soluci´n. Los vectores {(1, −1), (−3, 2)} forman un conjunto libre de R2 ya que o { (0, 0) = α(1, −1) + β(−3, 2) = (α − 3β, −α + 2β) ⇒ 0 = α − 3β 0 = −α + 2β } ⇒ α = β = 0.

Adem´s el cardinal de {(1,−1), (−3, 2)} es 2, que coincide con la dimensi´n de R2 , luego {(1, −1), (−3, 2)} a o es una base de R2 y podemos expresar (x, y) ∈ R2 como combinaci´n lineal de {(1, −1), (−3, 2)}. En efecto, o (x, y) = (−2x − 3y)(1, −1) + (−x − y)(−3, 2),

´ Introducci´n al Algebra Lineal. o

M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´ ıa a ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.

2 Entonces, como f es lineal, secumple

Aplicaciones Lineales

f ((x, y)) = (−2x − 3y)f ((1, −1) + (−x − y)f ((−3, 2)).

3.- Hallar una aplicaci´n lineal f : P2 (R) → R4 tal que kerf = {a1 x + a1 x2 |a1 ∈ R}. o Soluci´n. Una base de kerf es Bkerf = {x + x2 }. Podemos completar esta base hasta obtener una base o de P2 (R). Por ejemplo, {1, x, x + x2 } es una base de P2 (R). Entonces, si queremos definir una aplicaci´n o lineal f: P2 (R) → R4 tal que kerf = {a1 x + a1 x2 |a1 ∈ R} es obvio que f (x + x2 ) = (0, 0, 0, 0). Adem´s, a debemos definir f (1) y f (x) de forma que formen un conjunto libre. Por ejemplo, la aplicaci´n lineal que o verifica f (x + x2 ) = (0, 0, 0, 0), f (1) = (1, 0, 0, 0) y f (x) = (0, 1, 0, 0) verifica lo pedido en el enunciado. 4.- Hallar, si es posible, una aplicacin lineal f : R4 → R3 tal que kerf=< (0, 1, −1, 1), (0, 1, 0, 1) > e Imf =< (1, 0, 1), (2, 1, 0) >. Soluci´n. Si queremos definir una aplicaci´n lineal f : R4 → R3 , debe cumplirse que dim(R4 ) = o o dim(kerf + dimImf y los subespacios indicados lo cumplen. Por otro lado, para definir una aplicaci´n lineal, es suficiente con dar las im´genes de los elementos de o a una base del espacio vectorial origen. Si queremos que kerf =< (0, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 1) >, podemos tomar una base que tenga a S = {(0, 1, −1, 1), (0, 1, 0, 1)} como dos de sus vectores. Esto es posible porque el conjunto S es libre. Completamos esta base con {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} y definimos la aplicaci´n f en la base o {(0, 1, −1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} mediante f ((0, 1, −1, 1)) = (0, 0, 0), f ((0, 1, 0, 1)) = (0, 0, 0), f ((1, 0, 0,0)) = (1, 0, 1), f ((0, 0, 0, 1)) = (2, 1, 0). Observar que al ser {(1, 0, 1), (2, 1, 0)} un conjunto libre garantizamos que kerf es el subespacio deseado. 5.- Calcular el n´cleo y la imagen de la aplicaci´n lineal f : R4 → P2 (x) cuya matriz asociada (empleando u o   1 0 −1  2 −4 1  notaci´n por filas) respecto de la base can´nica de R4 y {1, x, x2 } es  o o . −1 0 −1 2 −2 −2 Soluci´n. Siempleamos la expresi’on matricial de f , sabemos que o 1  2 f ((a, b, c, d)) = (a b c d)  −1 2   0 −1   1 −4 1     x 0 −1 x2 −2 −2

= (a + 2b − c + 2d) + (−4b − 2d)x + (−a + b − c − 2d)x2 . Entonces, kerf = {(a, b, c, d) ∈ R4 |f ((a, b, c, d)) = 0} = {(a, b, c, d) ∈ R4 |(a + 2b − c + 2d) + (−4b − 2d)x + (−a + b − c − 2d)x2 = 0} = {(a, b, c, d) ∈ R4 |a + 2b − c + 2d = −4b − 2d = −a...