Algebra

Uno de los tipos más comunes e interesantes de experimento involucra la medición de varios valores de dos diferentes variables físicas a fines de investigar la relación matemática entre las dos variables. Ud. mismo ha realizado experimentos de esta clase en este curso. Sin embargo, en dichos experimentos el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea recta, fue realizada enforma cualitativa, es decir, a ojo. Existen formas cuantitativas de encontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conjunto de datos, y es precisamente este tema el que trataremos en esta Sección. Le recomendamos nuevamente que, además del breve desarrollo incluído en este apunte, consulte la bibliografía recomendada por la Cátedra.
Probablemente, los experimentos más comunes deltipo descripto más arriba son aquellos para los cuales la relación esperada entre las variables es lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g, entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t,
v = v0 + gt.
En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadaspor una relación lineal de la forma
 
y = A + Bx,
 
donde A y B son constantes. Si las dos variables y y x están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a incertezaalguna, entonces cada uno de los puntos (xi, yi) caería exactamente sobre la línea y = A +Bx. En la práctica, existen incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:
 

Las inevitables incertezas experimentales se muestran a través de las barras de error, y sólo podemosesperar que los puntos estén razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a incertezas apreciables.
 
Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preguntas. En primer lugar, si tomamos por garantido quey y x están relacionadas linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a las mediciones,es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamadoregresión lineal, o ajuste de mínimos cuadrados para una recta.
La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan nuestras expectativas acerca de lalinealidad entre y y x. Para contestar a esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una estimación confiable de las incertezas,entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando la distribución de los puntos mismos. Este problema, relacionado con los conceptos de covarianza y correlación, no será tratado en esta Sección.
Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),..., (xN, yN). Para simplificar nuestra discusión, supondremos que sólo las incertezas dela variable yson apreciables. Esta suposición es frecuentemente muy razonable, porque es común el caso en que las incertezas en una variable son muchos más grandes que en la otra. Supondremos además que todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. (Esta suposición es también razonable en muchos experimentos. Si las incertezas fueran diferentes, existen formas de generalizar el análisis...