Algebra

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ALGEBRA LINEAL

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1. Introducción a los sistemas de ecuaciones

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cadaincógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
Clasificación de los sistemas
Un sistema de ecuaciones sobre puedeclasificarse de acuerdo con el número de soluciones en:
* Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución.
* Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
* Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua.
* Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjuntofinito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación.

Sistema lineal
Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales ocomplejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:
(2)
La primera es la matrizde coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas que queremos averiguar. Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representaciónmatricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo:

Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderácon el de la incógnita . Si nos encontramos alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá solución.

Número de soluciones
Un sistema de ecuaciones lineales compatibles y determinados la solución es siempre única. En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede probarse que dos curvas polinómicas en el plano de grados n y m funcionalmente independientes setienen como mucho nm soluciones diferentes
Métodos de resolución
Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no-lineales el problema es técnicamente bastante más difícil.

Eliminación de Gauss-Jordan

En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de Gauss-Jordan, llamadas asídebido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la...
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