algebra

Profesor: José Ignacio de J. Franco R.
Fecha: Agosto 16.

NÚCELO # 2 (Parte A): EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Polinomios.


EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es un conjunto de números y letras separados por los signos de las operaciones fundamentales:


Ejemplos:


TÉRMINO: Es cada una de las partes de la expresión algebraica que están separadas por los signos operativos + y/o -.

En lasexpresiones algebraicas anteriores se tiene que: La expresión b. consta de un solo término (monomio), las expresiones a y c. tienen dos términos (binomios) y la expresión d. tiene tres términos (trinomios).


POLINOMIOS

DEFINICIÓN INTUITIVA: Un polinomio es una expresión algebraica de varios términos en la que cada unode sus coeficientes son números reales y los exponentes de sus variables son enteros no negativos.

Así por ejemplo: P(x) = 3x2 – 5x + 7x5 – 2. Polinomio en la variable x.
Q(x, y) = x2y3 - 5x3y2 + (5/9)x5y2. Polinomio en las variables x, y.

POLINOMIO EN UNA SOLA VARIABLE: Un polinomio en una sola variable (digamos x) es una expresión de la forma:p(x) = anxn  an-1xn-1  an-2xn-2  ... a1x1  a0x0 (a0), donde cada coeficiente numérico del polinomio (ai, i = 1,n) es un número bien sea real o complejo. Además los exponentes de la variable son enteros no negativos y el mayor exponente de la variable indica el grado del polinomio.

El término que no posee variable se denomina término independiente del polinomio.

ORGANIZACIÓN DE UNPOLINOMIO: Un polinomio puede ordenarse en forma ascendente o en forma descendente:

En forma ascendente: Cuando el polinomio se escribe empezando por el término independiente siguiendo con los términos que tienen las potencias de menor a mayor hasta llegar al término que tiene la mayor potencia de la variable.
En forma descendente: Cuando el polinomio se escribe empezando por el término quecontiene la mayor potencia de la variable siguiendo con los términos que tiene las potencias de mayor a menor hasta llegar al término independiente del polinomio.

Ejemplo: P(x) = 5 – 7x – 9x2 + x3 + (2/7)x4. (En forma ascendente de grado 4).
P(x) = (2/7)x4 + x3 – 9x2 – 7x + 5. (En forma descendente).

NOTA: Como un polinomio es también unaexpresión algebraica, también se clasifican en binomios, trinomios y demás dependiendo del número de términos que tenga.

POLINOMIO EN VARIAS VARIABLES: Son polinomios en los cuales cada uno de sus términos tienen a su vez varias variables. Pueden clasificarse en homogéneos y en heterogéneos.

Los polinomios en varias variables tienen dos tipos de grado: Relativo y absoluto:

Grado relativo:Cuando el grado se da con base al mayor exponente de una de sus variables.
Grado absoluto: Lo da el término que tiene el mayor grado absoluto (suma de las potencias que tiene cada variable en el término).
Polinomios homogéneos: Cuando todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, en caso contrario serían polinomios heterogéneos.

Ejemplo: Dados los siguientes polinomios indica cuáles sonhomogéneos y cuáles heterogéneos:
a. p(x,y) = 3x2y – 5xy2 + x3 – y3. b. r(x,y) = x6 – (1/2)x5y7 + 2 x4y - 7x5y2 + y6.
c. q(a,b) = a6 + a4b2 – a2b4. d. x3 – 2y2 + 3z5 – 9xy + xyz - 5


Valor numérico de un polinomio:

Cuando nos piden determinar el valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir la variable  por un valor dado yefectuar, luego, las operaciones indicadas.

Ejemplo:
Sea , hallar 
 Solución:




OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS:

1. SUAMA y/o RESTA: Se suman algebraicamente los coeficientes de aquellos términos semejantes y al resultado se le coloca la misma parte literal.

2. MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar polinomios se puede aplicar la propiedad distributiva teniendo en cuenta que...