Algebra

SUMBESPACIOS Y BASES VECTORIALES

Presentado a: JUAN BAUTISTA MERCADO
Por: CD. SANCHEZ CARDENAS JUAN SEBASTIAN
Curso: 2.2 SUPE

ESCUELA NAVAL ALMIRANTE PADILLA
CARTAGENA DCYT
2011
SUBESPACIOS VECTORIALES.

- En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.
-Sean V y S dos espacios vectoriales definidos enel campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V.
-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.
S
S


V

CONDICION DE EXISTENCIA DE UN SUBESPACIO.
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y* con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.

2. S es igual o está incluido en V.

3. La suma es ley de composicióninterna.

4. El producto es ley de composición externa.

-Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

TEOREMA.

-Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial S⊆ V, S≠ ∅,
S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple que:
1. ∀u, v ∊ S / u+v ∊ S
2. ∀ α ∊ K, ∀u ∊ S / α u ∊ S

INTERSECCION: Se define la intersección (∩) de dos subespacios vectoriales S1 y S2 deV, como el subconjunto de V que verifica:
a ∈ S1 ∩ S2 ⇔ a ∈ S1 y a ∈ S2
Teorema: La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V.

SUMA: Sea (V ; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V. Se llama suma
de S1 y S2 al conjunto:
S1 +S2 = {s1 + s2 / s1 ∈ S1, s2∈ S2}
Teorema : Elconjunto S1 + S2 es un subespacio de V; es el menor
de todos los subespacios que contienen a S1 y S2.

SUMA DIRECTA: Sean S1 y S2 subespacios de un espacio vectorial (V; K ;+; •) y sea L ⊆ V , decimos que L es suma directa de S1 y S2; lo que se denota L = S1 ⊕ S2, si se verifica que :
L = S1 + S2 y S1∩S2 = .
Si L = V; a los subespacios S1 y S2 se les denominan subespacioscomplementarios.

UNION: S1 υ S2 = {α ∈ V / α ∈ S1 ^ α ∈ S2}. En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S1 este contenido en S2 o viceversa.

BASES VECTORIALES

En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base deun espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
* Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
* Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).
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Lema de Zorn y existenciade bases
Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Por ser así, tal cardinalidad será llamada como la dimensión del espacio vectorial.
Otras propiedades, consecuencias del lema deZorn:
* Todo sistema generador de un espacio vectorial contiene una base vectorial (de Hamel).
* Todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial, puede ser extendido a una base.

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Observaciones adicionales
1. Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a, b, c} y {b, a, c} generan el mismo espacio vectorial, las...