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ESPACIOS VECTORIALES
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
COMBINACIÓN LINEAL
1. Un vector se dice que es combinación lineal de unconjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar, es decir:
2.
3. Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .
4. Ejemplo:
5. El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2,9):
6.
7.8.
Otro ejemplo:
9.  : Se dice que es combinación lineal de y de , porque podemos escribir sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
10. Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formarel vector en cuestión.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
En algebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero esla suma de los dos primeros.
Definición
Dado un conjunto finito de vectores, se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen números, no todos iguales a cero, tales que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores sonlinealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial eslinealmente independiente si
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal delos demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.
4.Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.
Significación geométrica
Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.
Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo planovectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.
El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido...