Algebra

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Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.

Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3s4x, x2(2zy)3 son algunos ejemplos de términos.

La parte numérica de un términose denomina coeficiente.

Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, –1, 3 y 8 (el último término equivale a x2{8(zy)3} y se puede escribir también como 8x2(zy)3.

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio, dos términos, binomio y tres términos, trinomio.

Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.

En este contexto, el grado es elmayor exponente de las variables en un polinomio.

Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.

Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometríaanalítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado; es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo.El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3.

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.

Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 × 3 × 5, los factoresprimos de 60 son 2, 3 y 5.

Resolución de ecuaciones

Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a.

Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada.

La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y lasolución será el otro lado.

Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita 5x + 6 = 3x + 12 los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro.

El término 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustracción; 3x se ha de restar del lado izquierdo al mismo tiempo:

algebra_resoñver_ecua01



Después se resta el número6 de ambos lados:

agebra_resolver_ecuac02



Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuación por 2:

algebra_resolver_ecuac03



y la solución es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original:

algebra_resolver_ecuac04

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Dada una ecuación de segundogrado o cuadrática en su forma general:

ax2 + bx + c = 0

hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza específica de la ecuación en cuestión.

Si la ecuación se puede factorizar, la solución es inmediata. Por ejemplo: x2 – 3x = 10

Primero se escribe la ecuación en su forma general: x2– 3x –10 = 0

que se puede factorizar como: (x – 5) (x + 2) = 0

Laigualdad sólo se cumple cuando uno de los factores (x – 5 y x + 2 son los factores) es cero. Para que ello ocurra, x debe ser = 5 (5 – 5 = 0) o x debe ser = –2 (–2 + 2 = 0) . En ese caso, uno cualquiera de los factores multiplicado por cero es igual a cero.

Éstas son las soluciones de la ecuación, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitución.

Si a primera vista no se encuentra un modo...
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