Algebra

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Aplique el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la base B= {(2, 4,-1), (-2, 3, 2)} en R2.
Solución:221421-121
Primer vector unitario û1
û1=v1v1=21 2 4-1 =

|v1|=22+42+-12=21
221421-121
-187 137 167
221 421-121

Segundo vector ortogonal a û1
-2 3 2

v2´= v2-(v2 û1) û1= - =

-18749 13749 16749
-187 137 167
Segundovector unitario û2

û2=v2´/ |v2´|=7749 =

|v2´|=(-187)2+(137)2+(167)2 =7497
-18749 13749 16749
221421-121
Comprobación:
û1*û2=0
= -0.287+0.4145-0.1275=0

221421-121221421-121
û1*û1=1
=421+1621+121=1
-18749 13749 16749
-18749 13749 16749

û2*û2=1=324749+169749+256749=1

Sean u= (x1, x2) y v= (y1, y2) vectores cualesquiera de R2. demuestre que definido de la manera siguiente, es un producto interno en R2. =x1y1+4x1y1
Solución: Propiedad 1: =
=
= (x1 y1),4(x2 y2)
= x1 y1 +4x2 y2
=4x2 y2+ x1 y1
= ∴el axioma se cumple
Propiedad 2:=+
=
=x1y1+4x2y2+4w+x2y2
=x1y1+4x2y2+x2y2+4w
=+ ∴el axioma se cumplePropiedad 3: =
= c
=cx1y1+4cx2y2
=c ∴el axioma se cumple
Propiedad 4: ≥0
=(x1x2) (x1x2)
=x12 x22 ∴el axioma se cumple ∴si es un producto interno
Considere el espacio vectorial C[-1, 2], y los vectores f(x)= 2+x y g(x)= 3x-6x2. calcule la proyección ortogonal de f(x) sobre g(x).
Solución:
proyg(x)fx= g(x)
Primero:
-122+x3x-6x2dx
-12(-6x3-9x2+6x)dx=-6-12x3dx-9-12x2dx+6-12x dx
=-23x4-3x3+3x2 = -23(2)4-3(2)3+3(2)2-[-23(-1)4-3-13+3-12] =-812

Después:
-12(3x-6x2)(3x-6x2) dx
-12(36x4-36x3+9x2)dx = 36-12x4dx-36-12x3dx+9-12x2dx
=365x5-9x4+3x3=36525-924+323-(-365-9-3)= 6905
La proyección a calcular queda:
proyg(x)fx= g(x)
proyg(x)fx=-8126905 (3x-6x2) =-2792(3x-6x2)
proyg(x)fx=2x2-x

Determine el polinomio característico de A, y los correspondientes...
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