Algebra
Unidad
7
Distancias, áreas
y volúmenes
l análisis de los vectores, desde la óptica de su estructura de espacio vectorial (manejando sólo combinaciones lineales), ha permitido establecer las relaciones de dependencia e independencia lineal que han dado lugar a la obtención de las ecuaciones de rectas y
planos en el espacio y susposiciones relativas.
E
Pero, para analizar el espacio desde un punto de vista métrico, es decir, para poder medir
ángulos, distancias, áreas y volúmenes, son necesarios los productos escalar, vectorial y
mixto, que ya han sido estudiados en la Unidad 5. En esta unidad se verán las aplicaciones
de dichas operaciones en el estudio de la medida en el espacio.
173
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7.1
Medida de ángulos
El coseno del ángulo que forman dos vectores es el producto escalar de los dos
vectores normalizados (es decir, divididos por sus módulos):
→
→
→
→
u
v
u⋅v
cos α = -------------------- = ---------- ⋅ ---------→
→→ → u
u
u · v
Ésta es la herramienta que, en general, se utilizará para la medida de ángulos en
el espacio.
AÁngulo de dos rectas
A(x 1 , y 1 , z 1 )
B(x 2 , y 2 , z 2 )
Dadas las rectas r ≡ →
y s ≡ →
, se define el
u = (u 1 , u 2 , u 3 )
v = (v 1 , v 2 , v 3 )
ángulo de r y s como el que forman sus vectores directores:
→
→
ur ⋅ vs
→
→
α ( r , s ) = α ( u r , v s ) = arc cos ---------------------→
→ ur ⋅ vs
→
u
r
=
u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
=arc cos ------------------------------------------------------------------------------2
2
2
2
2
2
u1 + u2 + u3 ⋅ v1 + v2 + v3
s
→
v
Fig. 7.1
Si las rectas se cortan o son paralelas, el ángulo no necesita mayor comentario.
Pero si las rectas se cruzan, se observa que el ángulo será el formado por una
recta con la proyección de la otra sobre el plano que contiene a laprimera y es
paralelo a la segunda (véase la Figura 7.1).
r
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales,
→
→
es decir, si u r ⋅ v s = 0 ⇔ u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 0 .
Hay que indicar también que en el plano se habla con frecuencia de encontrar la
perpendicular a una recta por un punto, puesto que en el plano, dada una recta,
existe una única direcciónperpendicular a ella. Sin embargo, en el espacio, lo
adecuado es decir «una» perpendicular, pues, dada una recta, existirán infinitas
direcciones perpendiculares a ella: todas las contenidas en un plano perpendicular a la recta dada (véase la Figura 7.2).
174
•••••••••••••••••••••
Fig. 7.2
Ejemplo 1
x–1
y+2
z+1
Hallar el ángulo formado por las rectas r ≡ -------------- =--------------- = --------------- y
2
–1
–2
x = 2 – λ
s ≡ y = 1 + 2λ
z = 2λ
Solución
→
→
Los vectores directores de las dos rectas son: u = (2, −1, −2) y v (−1, 2, 2).
Así pues, el ángulo que forman es:
–2–2–4
–8
α = arc cos ---------------------------------------------------------------- = arc cos --------- ≈ 27°16'
9
4+1+4 ⋅ 1+4+4
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B
Ángulo de dos planos
Dados los planos π 1 ≡ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y π 2 ≡ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 ,
el ángulo formado por ambos es el que forman sus vectores normales:
→
→
→
→
1
n
→
Como n 1 = (a1, b1, c1) y n 2 = (a2, b2, c2), α ( π 1 , π 2 ) = α ( n 1 , n 2 ) =
→
→
→
n2
= arc cos------------------------------------------------------------------------------ .
a +b +c ⋅ a +b +c
n1
n2
= arc cos ----------- ⋅ ----------→
→
n1
n2
α
a1 a2 + b1 b2 + c1 c2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
α
π1
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales,
→
→
es decir, si · n 1 · n 2 = 0 ⇔ a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0.
π2
Observa que si dos planos son...
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