algebra

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESION ALGEBRAICA: Es una combinación de números y de letras que representan números cualesquiera.
Por ejemplo: 3x2 – 5xy + 2y2 , 2a3b5 , 5xy + 3z
2a3 – c2

Ejemplos:
Factorizar y simplificar al máximo las siguientes expresiones:
1.-
xy + 2x + 3y + 6 · xy – 2x – y + 2_ · x2 + 3x – 10 · _x2 + x – 6_ : __x – 2__
xy + 2x –y – 2 xy – 2x + 3y – 6 x2 – 9 x2 + 4x – 5 x2 – 4x + 3

x (y + 2) + 3 (y + 2) · x (y – 2) – (y – 2) · (x + 5)(x – 2) · (x + 3)(x – 2) · (x – 3)(x – 1)
x (y + 2) – (y + 2) x (y – 2)+ 3 (y – 2) (x + 3)(x – 3) (x + 5)(x – 1) (x – 2)

= x – 2
2.-
a6 + b6 – a2b – a4b2

a4 ( a2 – b2 ) - b4 (a2 – b2 )

( a4 – b4 ) ( a2 – b2 )

( a2 – b2 ) ( a2 + b2 ) ( a2 – b2 )

=( a2 – b2 )2 ( a2 + b2 )


RACIONALIZACION
 
1  a  a
I ------ . ------- = ---------
 
 a  a a
  
1  a +  b  a +  b
II -------------- . ----------------- = -----------------
   
 a -  b  a +  b a - b

III a)

III b)

Ejemplo:


PRODUCTOS NOTABLES

a2 – b2 = ( a + b ) ( a –b )

a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2

x2 + ( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b )

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2 )

a3 – b3 = ( a – b) ( a2 + ab + b2 )

a4 – b4 = ( a2 + b2 ) ( a2 – b2 )

ECUACIONES

ECUACIONES LINEALES

De la forma ax + b = 0 , siendo a  o y a,b constantes. Su solución viene dada por:

x = - b
a

Ejemplo:

x + 3 + 5= 1 / * 2x ( x – 1) x  0, 1
2x x – 1 2

(x + 3)(x – 1) + 5(2x) = x( x – 1)

x2 + 2x – 3 + 10x = x2 – x

13x = 3

x = 3
13

ECUACIONES DE 2º GRADO
De la forma ax2 + bx + c = 0 , siendo a  0 y a, b,c constantes.
Métodos de resolución de las ecuaciones de 2º grado:

1) Ecuaciones cuadráticas puras.

Ejemplo:

x2 + 9 = 0x2 = -9


2) Por descomposición en factores.

Ejemplo:
3x2 + 2x – 5 = 0
(3x + 5)( x – 1) = 0

3x + 5 = 0 x – 1 = 0
x1 = x2 = 1


3) Aplicando la fórmula general
Ejemplo:

3x2 – 5x + 1 = 0


Propiedades de las raíces o soluciones:

III

Ejemplo:

Formar la ecuación de 2º grado cuyas soluciones son 2 y 1
3 6
2 + 1 = -b
3 6 a

5 = -b
6 a -b = 5 · 3 = 15
a6 · 3 18 a = 18
b = -15
2 · 1 = c c = 1 · 2 = 2 c = 2
3 6 a a 9 · 2 18

1 = c
9 a



18 x2 – 15 x + 2 = 0


El carácter de las raíces o soluciones:


Si b2 – 4·a·c >0 , las raíces son reales y distintas

x1 x2





Si b2 – 4· a·c = 0 , las raíces son reales e iguales


x1 = x2







Si b2 – 4·a·c < 0 , las raíces son complejas








Ejemplo:
Para que valor de k la ecuación x2 + 2(k + 2)x + 9k = 0 , tiene raíces reales e iguales.

a = 1
b = 2(k + 2)...