Algebra

C u r s o : Matemática Material N° 18
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares y el punto de intersección se considera como origen. Y (Ordenadas) II Cuadrante
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2

I Cuadrante A

B
1 2 3 4 5 6

X (Abscisas)

C III Cuadrante

-3 -4 -5 -6

IV Cuadrante

OBSERVACIONES Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) y C = (-5, -3) Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0) Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y)
EJEMPLO

1.

Sean a y bnúmeros enteros, de modo que a > b. Entonces, el punto D cuyas coordenadas son (a – b, b – a) se ubica en A) B) C) D) E) el el el el el primer cuadrante segundo cuadrante origen del sistema tercer cuadrante cuarto cuadrante 1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión: y dAB =(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

y2

B y 2 − y1

y1 0
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

A x 2 − x1 x1 x2 x

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son xm
x + x2 = 1 , 2

ym

y + y2 = 1 2

y y2 ym y1 0 A x1 xm x2 x M B

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos A(-1, -5) y B (-7, 3)? A) B) C) D) E) 5 2 2 10 4 2 10

2.

En la circunferencia del ejercicio 1, ¿cuáles son las coordenadas del centro? A) B) C) D) E) (-8, -2) (-4, -1) (-3, -4) ⎛ 7 3⎞ ⎜- 2, - 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 9 1⎞ ⎜ - 2 ,- 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje xhacia la recta) y L B y2 y − y1 BP y2 – y1 m = tg α = = 2 AP x2 − x1 A α y1 P α

x1

x2

x

x2 – x1
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

y L 0 x

y L
α

0

x

L es paralela al eje x (α = 90º), si y sólo si(m no está definida) y L α

L tiene pendiente positiva (90º < α < 180º) si y sólo si m < 0)

y L
α

0

x

0

x

L es paralela al eje y
EJEMPLOS

L tiene pendiente negativa

1.

La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1) A) B) C) D) E)

y

B(-6, 7) es

6 5 6 7 7 8 8 5 8 7
3

2.

¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva? A)y B) y C) y D) y E) y

x

x

x

x

x

3.

¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7? A) B) C) D) E)

y
1

y
7

y

y
1

y
7

-7

x

1

x
-1

7

x

7

x

-1

x

4.

Si los puntos A(2, 3), A) B) C) D) E) 5 3 1 -3 -7

B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces a =

5.

Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuántodebe ser el valor de k para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?

A) B) C) D) E)

-9 -3 3 9 15

4

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es
y – y1 = m(x – x1)

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación

anterior se escribe:
y = mx + n Ecuaciónprincipal de la recta n: coeficiente de posición

EJEMPLOS

1.

La ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente -

2 es 3

A) B) C) D) E)

2x 2x 2x 2x 2x

+ 3y + 17 = 0 + 3y – 17 = 0 + 3y – 6 = 0 – 3y – 1 = 0 + 3y + 1 = 0

2.

1⎞ ⎛ La ecuación de la recta que pasa por los puntos ⎜1, ⎟ y ⎝ 2⎠

-3 ⎞ ⎛ ⎜ -2, ⎟ es ⎝ 2⎠

A) B) C) D) E)

y= y= y= y= y=

3...