Algebra

´ ´ MATEMATICAS BASICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´ IN EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Tomado de: Stewart, James. “Prec´lculo”. Quinta Edici´n. Secci´n 1.3.) a o o • Una expresi´n algebraica es una combinaci´n de constantes (n´meros) y variables (elementos gen´ricos de un cono o u e junto num´rico, representados por letras), mediante suma, resta,multiplicaci´n, divisi´n y potenciaci´n con exponentes e o o o enteros o racionales. Generalmente las variables se representan con las ultimas letras del alfabeto: u, v, w, x,.... ´ 3x2 + 4x − 5, son expresiones algebraicas. • Un polinomio en la variable x es una expresi´n algebraica de la forma o an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , donde a0 , a1 , · · · , an son n´meros reales, llamados coeficientes delpolinomio y n es un entero no negativo. Si u an = 0, se dice que el polinomio es de grado n, es decir, el grado de un polinomio corresponde al mayor exponente de la variable que aparece en el polinomio. Ejemplo: 7x5 − 3x4 + 2x2 + x + 1 es un polinomio en la variable x de grado 5. El t´rmino en x3 no se escribe porque su coeficiente e es 0. Suma de polinomios Para sumar (o restar) polinomios,utilizamos las propiedades de la suma y el producto de n´meros reales. u Ejemplo: 1 Sumar 3x2 + 7x − 9 con −5x3 − x2 + x − 5. 5 Soluci´n: o 1 (3x2 + 7x − 9) + (−5x3 − x2 + x − 5) 5 = 1 (3x2 + (− )x2 ) + (7x + x) + (−9 + (−5) + (−5x3 ) 5 Usamos las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Este paso en ´lgebra se conoce como “Agrupaci´n de a o t´rminos semejantes”. e 1 (3 + (− ))x2 + (7 + 1)x + (−9 −5) + (−5x3 ) 5 Usamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, es decir, “sumamos t´rminos semejantes”. e 3(5) − 1 2 x + 8x + (−14) + (−5x3 ) 5 14 2 x + 8x − 14 − 5x3 5 14 −5x3 + x2 + 8x − 14. 5 x+z , y2 + x √ y − 4z , z+y

=

1 (3x2 + 7x − 9) + (−5x3 − x2 + x − 5) 5

= = =

Ejemplo: a) Sumar 3x2 + x + 1 con 2x2 − 3x − 5 b) De 3x2 + x + 1 restar 2x2 − 3x − 5 .

1Soluci´n: o a) 3x2 + x + 1 + 2x2 − 3x − 5 = = = 3x2 + 2x2 + (x − 3x) + (1 − 5) (3 + 2)x2 + (1 − 3)x + (1 − 5) x2 − 2x − 4

b) 3x2 + x + 1 − 2x2 − 3x − 5 = 3x2 + x + 1 − 2x2 + 3x + 5 = (3 − 2)x2 + (1 + 3)x + (1 + 5) = x2 + 4x + 6. Producto o multiplicaci´n de polinomios o Para multiplicar polinomios usamos las propiedades de la suma y el producto de n´meros reales, y las leyes de losexponentes. u Ejemplo: 1. (3x − 4) x2 + x = 3x(x2 + x) + (−4)(x2 + x) por propiedad distributiva de la suma con respecto al producto = 3x · x2 + 3x · x − 4x2 − 4x por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma • = 3x3 + 3x2 − 4x2 − 4x por leyes de exponentes = 3x3 + x2 (3 − 4) − 4x por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma = 3x3 − x2 − 4x. √ √ √ √ t+2 5−2 t =5 t−2 t 2.Productos notables Algunos productos se usan frecuentemente y por ello es f´cil memorizar el resultado. a Sean a y b n´meros reales o expresiones algebraicas. u 1. (a + b) (a − b) = a2 − b2 2. (a + b) = a2 + 2ab + b2 3. (a − b) = a2 − 2ab + b2 4. (a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 5. (a − b) = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 . Estos resultados pueden verificarse realizando los productos, as´ ı: 3. (a − b) =(a − b)(a − b) = a.a + a(−b) + (−b)a + (−b)(−b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2 . 4. (a − b)3 = (a − b)(a − b)2 = (a − b)(a2 − 2ab + b2 ) = a.a2 + a(−2ab) + a.b2 + (−b).a2 + (−b)(−2ab) + (−b)b2 = a3 − 2a2 b + ab2 − a2 b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 . Interpretaci´n geom´trica: o e
2 3 3 2 2 2

√ √ + 10 − 4 t = t − 2t + 10.

(a + b) = a2 + 2ab + b2 2

2

(a + b) = a3 + 3a2 b +3ab2 + b3

3

Ejemplo: Utilizar los productos notables para obtener los siguientes productos. a) b) c+ √ 1 c
2

,c = 0 1 b
3

a−

√

a+

1 b

,b = 0

c) (1 − 2y) .

Soluci´n: o a) Aplicando 2, tenemos: c+ b) Aplicando 1, tenemos: √ a− 1 b √ a+ 1 b = √ a
2

1 c

2

= c2 + 2 (c)

1 c

+

1 c

2

c 1 1 = c2 + 2 + 2 = c2 + 2 + 2 c c c

−

1 b

2

=a−...