Algebra

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Concepto general de cálculo [editar]
El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significación alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de expresiones bien formadas (EBF), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentesque ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.
Un cálculo consiste en:
1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas deformación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.
Cuando en uncálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.
Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:
1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, f, y su negación, no − f, sean ambas teoremas delsistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración o prueba deque es un teorema del sistema.
La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" (véase el Teorema de Gödel).
El cálculo lógico [editar]
Artículo principal: Cálculo lógico
Entendemos aquí por cálculo lógico, un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamenteverdaderos.
La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.14
Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.
Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamosconstantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.15
La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- enotros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.
Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo.Sistematización de un cálculo de deducción natural [editar]
Reglas de formación de fórmulas [editar]
I. Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.
II. Si A es una EBF, ¬ A también lo es.
III. Si A es una EBF y B también, entonces A B; A B; A B; A B, también lo son.
IV. Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.
Notas:
A, B,... con mayúsculas...
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