Algebra

Matematicas

Cuarto semestre

Temas:
Algebra, producto notables, factorización, fracciones, fracciones complejas

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Álgebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
La palabra«álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (tambiénnombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como+, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y). Esto es útil porque:
* Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
* Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones, y encontrar un método para resolvery hayar ese valor, normalmente conocido como ingógnita.
* Permite la formulación de relaciones funcionales.

Estructura algebraica
En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y laspropiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:
* Semigrupo
* Monoide
* Grupo
* Anillo
* Cuerpo
* Módulo
* Espacio vectorial
* Álgebra

Productos notables
Productosnotables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Los productos notables están relacionados con las fórmulas de factorización estudiadas en losprimeros cursos de álgebra, ya que cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Factor común [editar]

Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedaddistributiva:

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura),
que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio [editar]

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir,multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de los mismos. Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo

simplificando:

Producto de dos binomios con un...