Algebra

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Si recordamos que una diferencia de cuadrados resulta de la multiplicación de dos binomios conjugados, entonces es claro que, inversamente, una diferencia de cuadrados se debe factorizar como el producto de dos binomios conjugados. Ejemplos:

1. Factorizar la siguiente expresión: a2 – b2
Sabemos que la expresión a2-b2 proviene del producto(a+b)(a-b)
Por lo tanto la diferencia a2-b2 se deberá factorizar como:
a2 - b2 = (a + b) (a – b)

2. Factorizar la expresión 4x2 – 9n2
4x2 – 9n2 = (2x + 3n) (2x – 3n)

Se llega a la conclusión de que para factorizar una diferencia de cuadrados se debe extraer la raíz cuadrada de ambos términos y después formar con esas raíces el producto de dos binomios conjugados.

Casos de doble factorización.
Enalgunas ocasiones los factores resultantes de la factorización de una diferencia de cuadrados resultan ser de otras diferencias de cuadrados, por lo cual pueden factorizarse nuevamente. Ejemplo:

1. Factorizar la diferencia x4 – 16.
x4 – 16 = (x2 + 4)(x2 - 4)
El factor (x2 - 4) se factoriza nuevamente como diferencia de cuadrados (x+2) (x-2).
Por lo tanto la factorización completa es:
x4 – 16= (x2 + 4) (x + 2) (x - 2)

FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS

Una suma de cubos tiene la forma general a3 + b3, y una diferencia de cubos tiene la forma a3 – b3. Para determinar cómo se factorizan estas expresiones nos valdremos de las divisiones vistas en División de Polinomios. Recordemos:

1. a3 – b3a-b=a2 + ab + b2

Si despejamos a3 - b3 queda: a3 – b3 = (a - b)(a2 +ab + b2)

2. a3+ b3a+b=a2- ab + b2

Si despejamos a3 + b3 queda: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Estas igualdades nos indican la forma de cómo se debe factorizar la suma y diferencia de cubos. En ambos casos los factores son un binomio y un trinomio. El binomio se obtiene directamente extrayendo raíz cubica a los sumandos de la diferencia o suma de cubos. Ejemplos:

1. Factorizar ladiferencia x3 – 1
Las raíces cubicas son x , 1 respectivamente. Por lo tanto la factorización de la diferencia es:
x3 – 1 = (x - 1) (x2 + x + 1)
2. Factorizar x3 + 1
x3 + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1)

3. Factorizar x3 – 8
Las raíces cubicas de cada sumando son, respectivamente x y 2. Por lo tanto la factorización queda:
x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4)

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + cUn trinomio que tiene la forma x2 + bx + c se factoriza como el producto de dos binomios con un término común. Cada binomio tiene como primer término x. Los segundos términos son dos números cuya suma algebraica sea b, y cuyo producto sea c. La suma algebraica implica tanto a las suma propiamente dicha como a la resta. Ejemplos:

1. Factorizar el trinomio x2 + 5x + 4
La expresión x2 + 5x +4 tiene la forma x2 + bx + c.
Donde b=5 y c=4
Por lo tanto se factorizará como: (x + 4)(x + 1)
Ya que el 4 y el 1, sumados dan 5 y multiplicados dan 4.
Por lo tanto el resultado es: x2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1)

2. Factorizar el trinomio x2 – 4x – 12
Los dos números que sumados algebraicamente dan -4 (que es el valor de b) y multiplicados dan -12 (que es el valor de c), son: -6 y 2.
Por lotanto el trinomio se factoriza como: x2 – 4x – 12 = (x – 6) (x + 2)

¿Cómo podemos comprobar que esta factorización es correcta? Efectuando la multiplicación.
(x – 6) (x + 2) = x2 + 2x – 6x – 12 = x2 – 4x – 12

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 + bx + c

Si el coeficiente del término cuadrático es diferente de 1, decimos que el trinomio tiene la forma ax2+bx+c. Ejemplo:

1. Eltrinomio 2x2 + 5x + 3 tiene esa forma. El coeficiente del término cuadrático es 2. Para factorizar estos trinomios se buscan dos factores que den el termino cuadrático y dos que den el termino independiente (c).

Para 2x2 tenemos los factores 2x, x.
Para el 5 tenemos los factores 3 y 1.

Para que la factorización sea correcta, al multiplicar estos factores en forma cruzada su suma algebraica...