Algebraaaa

40 – Matem´ticas I a

Parte II

´ Algebra Lineal

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian e

I.T.I. en Electricidad

´ 41 – Matem´ticas I : Algebra Lineal a

Tema 4

Espacios vectoriales reales
4.1 Espacios vectoriales

Definici´n 88.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con o dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” yotra que recibe el nombre de “producto de vectores por n´meros reales” o “producto por escalares”, que verifican las siguientes propiedades: u (1) u + v ∈ V ; ∀ u, v ∈ V . ∀ u, v ∈ V . ∀ u, v , w ∈ V . ∀u ∈V.

(2) u + v = v + u ;

(3) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ;

(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u ;

(5) Para cada u ∈ V , existe unvector de V , llamado opuesto de u y denotado por −u , tal que u + ( −u ) = 0 . (6) k u ∈ V ; ∀ k ∈ IR y ∀ u ∈ V . ∀ k ∈ IR y ∀ u , v ∈ V . ∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V .

(7) k( u + v ) = k u + k v ; (8) (k + l) u = k u + l u ; (9) (kl) u = k(l u ); (10) 1u = u ;

∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V .

∀u ∈V.

Por ser los escalares de IR , se dice que V es un IR -espacio vectorial. Se pueden considerar espaciosvectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C . Ejemplo Los conjuntos IRn , los conjuntos de polinomios Pn [X] = {P (X) ∈ IR[X] : gr(P ) ≤ n} y los conjuntos de matrices reales Mm×n = {matrices de tama˜o m×n }, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son n espacios vectoriales reales. Propiedades 89.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: (i) 0u = 0 . (ii) k 0= 0 . (iii) (−1) u = −u .

(iv) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ´ u = 0 . o (v) El vector cero de un espacio vectorial es unico. ´ (vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es unico. ´

4.2

Subespacios vectoriales

Definici´n 90.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V , o si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V .Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W : ( 1∗ ) u + v ∈ W ; ∀ u, v ∈ W ( 6∗ ) k u ∈ W ; ∀ u ∈ W y ∀ k ∈ IR

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian e

I.T.I. en Electricidad

´ 42 – Matem´ticas I : AlgebraLineal a

4.3 Base y dimensi´n o

Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad unica: ´ k u + l v ∈ W ; ∀ u , v ∈ W y ∀ k, l ∈ IR. Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W . Ejemplo P2 [X] es un subespacio de P4 [X], pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X) ∈ P2 [X], el grado de kP (X) + lQ(X) es gr(kP + lQ) = m´x{gr(kP ), gr(lQ)} ≤ m´x{gr(P ), gr(Q)} ≤ 2, porlo que est´ en P2 [X]. a a a Sin embargo, {P (X) : gr(P ) = 2} no es un subespacio de P4 [X], por dos razones: primero, porque no contiene al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1∗ ) ya que X2 y 2X − X2 son polinomios del conjunto pero su suma X2 + (2X − X2 ) = 2X es un polinomio de grado 1 que no est´ en el conjunto. a Definici´n 91.- Se dice que un vector v ∈ V es una combinaci´nlineal de los vectores v1 , v2 , . . . , vn si, o o y s´lo si, ∃ c1 , c2 , . . . , cn ∈ IR tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn . o Definici´n 92.- Dado un conjunto de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vk } de un espacio vectorial V , llamaremos o subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ´ lin{v1 , v2 , . . . , vk } , al conjunto de o todas las combinaciones lineales que sepueden formar con los vectores de S : lin S = lin{ v1 , v2 , . . . , vk } = c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk : ∀ ci ∈ IR y se dir´ que S genera lin S o que v1 , v2 , . . . , vk generan lin S . a Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V y, de hecho, es el m´s peque˜o que contiene a los a n vectores de S (ver ejercicio 4.6). Definici´n 93.- Dado un conjunto S = { v1 , v2 , . . . , vk } de...