ALGEBRALINEAL
Páginas: 149 (37159 palabras)
Publicado: 16 de agosto de 2015
´
ESCUELA TECNICA
SUPERIOR DE INGENIER´IA
´
INFORMATICA
´
INGENIER´IA TECNICA
EN
´
´
INFORMATICA
DE GESTION
Apuntes de
´
ALGEBRA
LINEAL
por
Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo
Contenido
1 Matrices y determinantes
1
1.1
Notaci´on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Aritm´etica de matrices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.3
Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.4
Trasposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.5
Otras definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .
6
1.3.2
Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .
8
1.4
Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5
Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.1
Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
14
1.5.2
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6
Factorizaci´on triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7
Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.7.1
C´alculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
20
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
1.8
2Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
2.1
Notaci´on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
25
26
ii
Contenido
2.2
M´etodo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.1
Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos . . . . . .
32
2.3
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.4
Dependencia lineal .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.1
Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .
40
2.4.2
Bases de un espacio vectorial
. . . . . . . . . . . . . .
41
2.4.3
Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . .
45
2.4.4
Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
49
2.5.1
Caracterizaci´on de los subespacios vectoriales . . . . .
49
2.5.2
Variedad engendrada por un conjunto finito de vectores
50
Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.6.1
Intersecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.6.2
Uni´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.6.3
Suma . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
52
2.6.4
Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.7.1
Ecuaciones del subespacio suma . . . . . . . . . . . . .
56
2.7.2
Ecuaciones del subespacio intersecci´on . . . . . . . . .
57
2.8
Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .
60
2.9Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.10 Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .
64
2.10.1 Espacio fila de A: [R(At )]. . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.10.2 Espacio nulo de A: [N (A)]. . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.10.3 Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .
66
2.11 Teorema de Rouche-Fr¨obenius . . . . . . .. . . . . . . . . . .
67
2.12 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.5
2.6
2.7
3 Aplicaciones lineales.
3.1
N´
ucleo e Imagen de una aplicaci´on lineal. . . . . . . . . . . . .
79
82
Contenido
iii
3.2
Ecuaciones de una aplicaci´on lineal. . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2.1
Matriz asociada a una aplicaci´on lineal. . . . . . . . . .
85...
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INFORMATICA
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EN
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INFORMATICA
DE GESTION
Apuntes de
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ALGEBRA
LINEAL
por
Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo
Contenido
1 Matrices y determinantes
1
1.1
Notaci´on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Aritm´etica de matrices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.3
Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.4
Trasposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.5
Otras definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .
6
1.3.2
Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .
8
1.4
Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5
Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.1
Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
14
1.5.2
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6
Factorizaci´on triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7
Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.7.1
C´alculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
20
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3
1.8
2Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
2.1
Notaci´on y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
25
26
ii
Contenido
2.2
M´etodo de eliminaci´on gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.1
Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos . . . . . .
32
2.3
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.4
Dependencia lineal .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.1
Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .
40
2.4.2
Bases de un espacio vectorial
. . . . . . . . . . . . . .
41
2.4.3
Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . .
45
2.4.4
Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
49
2.5.1
Caracterizaci´on de los subespacios vectoriales . . . . .
49
2.5.2
Variedad engendrada por un conjunto finito de vectores
50
Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.6.1
Intersecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.6.2
Uni´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.6.3
Suma . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
52
2.6.4
Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.7.1
Ecuaciones del subespacio suma . . . . . . . . . . . . .
56
2.7.2
Ecuaciones del subespacio intersecci´on . . . . . . . . .
57
2.8
Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .
60
2.9Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.10 Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .
64
2.10.1 Espacio fila de A: [R(At )]. . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.10.2 Espacio nulo de A: [N (A)]. . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.10.3 Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .
66
2.11 Teorema de Rouche-Fr¨obenius . . . . . . .. . . . . . . . . . .
67
2.12 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.5
2.6
2.7
3 Aplicaciones lineales.
3.1
N´
ucleo e Imagen de una aplicaci´on lineal. . . . . . . . . . . . .
79
82
Contenido
iii
3.2
Ecuaciones de una aplicaci´on lineal. . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2.1
Matriz asociada a una aplicaci´on lineal. . . . . . . . . .
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