Algo sobre grupos (estructuras algebraicas)

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Grupos
Este segundo cuatrimestre lo dedicaremos al estudio de estructuras algebraicas. Primero, las estructuras de grupo, anillo y cuerpo, y m´s adelante, la estructura de espacio vectorial a ´ y todo lo que se refiere al Algebra lineal. Empezamos con la estructura de grupo. Es la m´s sencilla, porque solo interviene una a operaci´n, aunque tiene gran importancia. o

Definici´n o
Decimos que unconjunto G, con una operaci´n binaria , tiene estructura de grupo si se o cumplen estas propiedades: (g1) La operaci´n o es una ley de composici´n interna, o tiene la propiedad de clausura: o a, b ∈ G ⇒ a b ∈ G (g2) La operaci´n o es asociativa: a (b c) = (a b) c ∀a, b, c ∈ G (g3) La operaci´n o tiene elemento neutro. Es un elemento e ∈ G tal que: a e = e a = e ∀a ∈ G (g4) Todo elemento de Gtiene elemento sim´trico para la operaci´n : e o ∀a ∈ G ∃a ∈ G tal que a a = a a=e

As´ pues, un grupo es un conjunto con una operaci´n, (G, ), que satisface las propiedades ı o (g1), (g2), (g3) y (g4). Se tendr´ que decir que la operaci´n da al conjunto G una ıa o estructura de grupo, o que G tiene estructura de grupo con la operaci´n . Pero diremos o simplemente que G es un grupo, porque elcontexto suele dejar clara la operaci´n que se o est´ considerando. a Si G tiene infinitos elementos, decimos que es un grupo infinito. Si G tiene n elementos, decimos que es un grupo de orden n. Puede haber una quinta propiedad: (g5) La operaci´n o es conmutativa: a b = b a ∀a, b ∈ G En este caso, decimos que G es un grupo conmutativo o abeliano.

Ejemplos
Grupos infinitos, con la operaci´n suma o •Los conjuntos Z, Q, R, C son grupos infinitos conmutativos con la operaci´n suma. o El elemento neutro es 0 y el sim´trico de un elemento a es el opuesto, −a. e • En cambio, N no lo es, porque no cumple la propiedad (g4) (si consideramos que 0 ∈ N, se cumple (g3); si 0 ∈ N no se cumple). / 1

Grupos infinitos, con la operaci´n producto o En los conjuntos del ejemplo anterior tenemos que quitar el 0porque este elemento no tiene sim´trico (o inverso) para el producto. e • Los conjuntos Q − {0}, R − {0}, C − {0} son grupos conmutativos. El elemento neutro es 1 y el sim´trico de a es 1/a. e • En cambio, los conjuntos N y Z − {0} no lo son porque falla la propiedad (g4). Con el resto de las operaciones habituales estos conjuntos no tienen estructura de grupo. Ejercicio 1. Determina cu´les delas cinco propiedades tienen las operaciones diferencia a y divisi´n en los conjuntos N, Z y R, y cu´les no. o a Grupos finitos de la aritm´tica modular e • Los conjuntos Zm , con la operaci´n suma, son grupos conmutativos de orden m, o cualquiera que sea m. Vimos que la suma es una ley de composici´n interna, que o es conmutativa y asociativa, que 0 es elemento neutro y que cada elemento a tienesim´trico, que es −a = m − a. e Ejemplo 2. Tomando el conjunto Z4 = {0, 1, 2, 3}, la tabla de la suma ser´ ıa: 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2

0 1 2 3

Ejercicio 3. Haz la tabla de los grupos Z3 y Z5 , con la operaci´n suma. o • Con el producto, en cambio, no todos los elementos de Zm tienen sim´trico, o e inverso. Si nos quedamos con el conjunto de elementos invertibles, que denotaremospor U (Zm ), podemos comprobar que, con la operaci´n producto, este conjunto tiene o estructura de grupo conmutativo, y su orden es φ(m). Si p es primo, U (Zp ) = Zp − {0}, que es un grupo de orden p − 1. Ejemplo 4. Por ejemplo, si m = 9, hay φ(9) = 6 elementos invertibles en Z9 . El conjunto que forman, U (Z9 ) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, es un grupo conmutativo de orden 6. La tabla del producto es: 11 2 4 5 7 8 2 2 4 8 1 5 7 4 4 8 7 2 1 5 5 5 1 2 7 8 4 7 7 5 1 8 4 2 8 8 7 5 4 2 1

1 2 4 5 7 8

Ejercicio 5. Haz la tabla de los grupos U (Z7 ), U (Z8 ) y U (Z10 ), con la operaci´n o producto. 2

Grupos de Matrices • Consideramos un conjunto de n´meros C, que con la suma tenga estructura de grupo u (Z, R, Zm , . . .). El conjunto de matrices de m filas y n columnas con coeficientes en C,...
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