Algoritmo de la division entera

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Algoritmo de la División Entera
Enviado por jmd el 11 de Octubre de 2009 - 10:16.
Cuando dividimos un número a entre otro b (digamos 5 entre 2) lo que hacemos es ubicar a entre dos términos de lasucesión 0, b, 2b, … (5 está ubicado entre 2(2) y 3(2) –y sobra 1). El cociente q nos dice cuántas veces “cabe” b en a, y el residuo r es la distancia entre qb y el número a. (Es conveniente que ellector dibuje y tenga a la vista el diagrama clásico de la recta numérica y visualice en él esta idea que se acaba de expresar: a está ubicado entre qb y (q+1)b, y r=a-qb.)
El algoritmo de la división nosdice que, dados dos números a y b, siempre es posible encontrar q y r de tal manera que a=qb+r, con r un número entre 0 y b-1. (Para 5 y 2, encontramos 2 y 1 tales que 5=2(2)+1.)
Lo que nos dice esteresultado de la teoría de números ya lo sabíamos desde la escuela (de la clase de aritmética). La diferencia es que en teoría de números tenemos que usarlo teoréticamente, mientras que la habilidadpara aplicarlo en la aritmética es totalmente mecánica (nunca nos habíamos tomado la molestia de averiguar porqué funciona puesto que siempre lo hemos aplicado de esa forma).
Ejemplos de aplicación:
1)Considérese el caso de dividir un número natural n entre 3. La sucesión de referencia es 0, 3, 6, 9, … (Queremos ubicar n entre dos de sus términos, es decir, entre q(3) y (q+1)3; a decir verdad, endivisibilidad no nos interesa mucho conocer q, sino más bien r, el residuo o resto.) Si vemos el diagrama de la recta numérica (o imaginándolo), se distinguen tres posibilidades respecto al residuo: obien es 0 (n es divisible entre 3) o bien no es cero (en cuyo caso puede ser 1 o 2). En términos de la sucesión, se puede decir que todo número natural es ya sea múltiplo de 3 o bien está a unadistancia de una o dos unidades de un múltiplo de 3.1)
Consideremos ahora que el número n lo elevamos al cuadrado ¿cuáles son sus posibles residuos al dividir entre 3? ¿Otra obviedad? No. Porque ahora lo...
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