Algoritmo durbin levinson

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS
Departamento de Matemática y Cs. de la Computación

Algoritmo de Durbin-Levinson y Método Alternativo para AR(10)

Santiago, 02 de Julio de 2010

Índice
1. Introducción 3
2. Metodología 3
3. Algoritmo de Durbin- Levinson 4
4.1. Simulación de las Observaciones 4
4.2. Implementación Algoritmo Durbin – Levinsonen R 5
4.3. Implementación del algoritmo de Durbin- Levinson en Excel 6
4. Algoritmo Método Alternativo 7
5.4. Simulación de las Observaciones 7
5.5. Implementación Algoritmo Método Alternativo en R 8
5.6. Implementación del algoritmo Método Alternativo en Excel 9
5. Conclusión 11
6. Bibliografía 12
7. Anexos 13

Introducción

Este informe consistebásicamente en la implementación del algoritmo de Durbin-Levinson y de un método alternativo que reemplaza al anterior en dos software, como son el R-Project y Microsoft Excel.
La idea de estos algoritmos es que a través de un método bastante menos engorroso y más práctico a la hora de su implementación computacional, calcular los matriz de coeficientes phi, a través de la cual se puedencalcular los coeficientes del modelo autoregresivo (AR), que son los coeficientes de la última fila de esta matriz, y también los coeficientes de la función de autocorrelaciones parciales (FACP), que son los coeficientes que están en la diagonal de la matriz.

Metodología

Los pasos a seguir son, en primer término, simular una cantidad significativa de datos, que en este caso serán 200, de unmodelo autoregresivo con coeficientes dados anteriormente. Luego con esta base, calcular los coeficientes del modelo autoregresivo y las autocorrelaciones parciales a través de los algoritmos de Durbin-Levinson y Método Alternativo previamente programados en R-Project y Microsoft Excel 2007.
Finalmente, se comparan estos valores con los que entregan las funciones previamente definidas en R.Algoritmo de Durbin- Levinson

Este algoritmo fue propuesto por Levinson en el año 1947, para posteriormente ser mejorado por Durbin en el año 1960, quien redujo de las multiplicaciones de 4n2 a 3n2, obteniendo un eficiente algoritmo para calcular los coeficientes del modelo autoregresivo.
La recursión de Levinson o Durbin-Levinson es un algoritmo de algebra lineal para calcular en formarecursiva la solución de una ecuación que involucra la matriz de Toeplitz
Este método es utilizado, ya que permite calcular estos coeficientes de una manera bastante más simple que a través del método de determinantes.
Los pasos del algoritmo son:

Inicialización
* Calcular: ∅11=γ1γ0=ρ1
Parte Recursiva

* Calcular ∅22=1ρ1ρ1ρ21ρ1ρ11∅33=1ρ1ρ1ρ11ρ2ρ2ρ1ρ31ρ1ρ2ρ11ρ1ρ2ρ11


∅kk=Pk*Pk , donde k=2,3,4,…

donde Pk es la matriz de autocorrelaciones y Pk* es la matriz cada última columna sustituida por el vector de autocorrelaciones.

Simulación de las Observaciones

La función utilizada para realizar la simulación de las observaciones que se ocuparánposteriormente para la implementación del algoritmo de Durbin- Levinson es la perteneciente al software R arima.sim.
Se realiza una simulación de 200 observaciones para un modelo AR(10) de la siguiente forma:

salida<-arima.sim(list(order=c(p,0,0),ar=a),200)

donde a son generados mediante una función que genera los coeficientes significativos para un AR(p), en este caso p = 10 (parámetro delproceso AR).

Los parámetros que se utilizarán, tienen que cumplir una condición para que el proceso AR(p) sea estacionario donde éstas son las raíces del polinomio:

∅z= 1- ∅1z- ∅2z2- ∅3z3- …. -∅pzp

las que deben estar fuera del circulo unitario |z|>1.

Implementación Algoritmo Durbin – Levinson en R

El algoritmo implementado está dado en el anexo n°1: Implementación Algoritmo...
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