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Núcleo e imagen
Transformaciones inyectivas y sobreyectivas Teorema de las dimensiones

c Jana Rodriguez Hertz – p. 1/1

clase pasada
Si T : (V, B) → (W, A)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

clase pasada
Si T : (V, B) → (W, A) la matriz asociada es: (T )B = coordA ◦ T ◦ coord−1 A B

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

Ejemplos
T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x −5y + 3z) Encontrar A (T )B en los siguientes casos:
3 2 B = CR y A = CR

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplos
T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) Encontrar A (T )B en los siguientes casos:
3 2 B = CR y A = CR 2 B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} y A = CR

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplos
T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y+ 3z) Encontrar A (T )B en los siguientes casos:
3 2 B = CR y A = CR 2 B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} y A = CR

B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} y A = {(1, 3); (2, 5)}

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Imagen & núcleo - definición
Dados V, W e.v. sobre K y la transformación lineal T :V→W se define

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Imagen & núcleo - definición
Dados V, We.v. sobre K y la transformación lineal T :V→W se define el núcleo de T como N(T ) = T −1 (OW )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Imagen & núcleo - definición
Dados V, W e.v. sobre K y la transformación lineal T :V→W se define el núcleo de T como N(T ) = T −1 (OW ) la imagen de T como Im(T ) = T (V)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo
T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x− 5y + 3z) determinar N(T )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo
T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) determinar N(T ) determinar Im(T )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W

N(T ) ⊂ V
s.e.v.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y latransformación lineal T :V→W

N(T ) ⊂ V
s.e.v.

Im(T ) ⊂ W
s.e.v.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W

∀U ⊂ W
s.e.v.

T −1 (U) ⊂ V
s.e.v.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W

∀U ⊂ W
s.e.v.

T −1 (U) ⊂ V
s.e.v.

∀S ⊂ V
s.e.v.

T(S) ⊂ W
s.e.v.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W

∀U ⊂ W
s.e.v.

T −1 (U) ⊂ V
s.e.v.

∀S ⊂ V
s.e.v.

T (S) ⊂ W
s.e.v.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W son equivalentes: T es inyectiva

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/1 Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W son equivalentes: T es inyectiva N(T ) = OV

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W son equivalentes: T es inyectiva N(T ) = OV T lleva conjuntos l.i. en conjuntos l.i.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y latransformación lineal T :V→W son equivalentes: T es sobreyectiva

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W son equivalentes: T es sobreyectiva T (V) = W

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/1

Proposición
Dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W son equivalentes: T es sobreyectiva T (V) = W T llevageneradores en generadores.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/1

isomorfismo - definición
dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W si T es biyectiva, entonces: T se llama isomorfismo

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/1

isomorfismo - definición
dados los e.v. V, W sobre K y la transformación lineal T :V→W si T es biyectiva, entonces: T se llama isomorfismo V y W se llaman...
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