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Ejercicios para el capítulo de Cadenas de Markov

1) Sea pij(m+n) la probabilidad de pasar del estado i al j en m+n pasos. Demostrar que
[pic]=[pic]
2) Una moneda se tira sucesivamente unnumero indefinidos de veces con probabilidad de cara igual a p. Luego de n tiradas sea el estado de la cadena el número de caras menos el número de secas. Escribir las probabilidades detransición.
3) Una rata se mueve en el laberinto de la figura. Estando en cualquier compartimento sale por cualquiera de sus puertas con la misma probabilidad. Escribir la matriz de probabilidadesde transicion.

4) Determinar las clases y periodicidades de los estados de las cadenas con matrices de transición:
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 01
½ ½ 0 0 0 1 0 0
1/3 1/3 1/3 0 1/3 0 2/3 0
5) Dos jugadores A y B juegan una sucesión de partidas. En cada partida, A tiene probabilidad p de ganar y B tiene prob.q de ganar (p+q=1). Si A gana, B le paga un peso a A y viceversa. Inicialmente A y B disponen de un capital de a y b pesos respectivamente. El juego termina cuando uno de los 2 jugadores searruina. Escriba una matriz (pik( de transicion de probabilidades.
6) En la cadena del juego de A y B la ruina de cada jugador representa la absorcion en uno de los dos estados persistentes.Calcule la ruina de ambos jugadores.
7) En una cadena de Markov finita a) no pueden ser transitorios todos sus estados b) no hay estados persistentes nulos.
8) Sean los estados de la cadenaI={0,1,2,...} con probabilidades de transicion:
p00 = 1, pi,i+1 = 1/(i+1) (i=1,2,...), pi,i-1 = i/(i+1) (i=1,2,...)
Hallar limn(( pij(n)
9) Una cadena tiene N estados. Probar losiguiente:
(a) Si a un estado k puede llegarse desde un estado j, entonces puede llegarse en N-1 o menos pasos.
(b) Si un estado j es persistente, existe ( (0p). Halle la distribucion estacionaria.
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