Alhebra

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 17 de junio de 2008

´ Indice
20.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . o 20.2. Vector de coordenadas . . . . . . . 20.3. Vector de Coordenadas y Rm . . . 20.4. Matriz de transici´n: Introducci´n o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 5

20.1.

Introducci´n o

En este tema se presenta el concepto de vector de coordenadas. Este concepto surge de la necesidad de introducir nuevos sistemas coordenados o sistemas coordenados que mejor se adapten a unasituaci´n. o

20.2.

Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita con base B = {v1 , . . . , vn }. Seg´n un teorema anterior, o u para cada v ∈ V existen escalares unicos c1 ,. . . ,cn tales que: ´ v = c1 v 1 + · · · + cn v n Definici´n 20.1 o El vector en Rn cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como [v]B , se llama vector de coordenadas o vector coordenado de vcon respecto a B:   c1  .  [v]B =  .  . cn Nota Observe que [v]B se modifica cuando cambia la base B. Tambi´n [v]B depende del orden de los elementos de e B. Mantendremos fijo este orden usando siempre una base ordenada: este concepto se referir´ a una base que a a pesar de ser conjunto se considerar´ en un orden determinado. Recuerde que en la definici´n matem´tica de a o a conjunto, el ordende los elementos no afecta el conjunto, sin embargo, en la definici´n de base ordenada el o orden es importante. Teniendo disponible una gr´fica a veces es posible determinar con relativa facilidad los vectores de coordendas. a

4

2

0 -6 -4 -2 -2 0 2 4 6

-4

Figura 1: Nuevo Sistema Coordenado Ejemplo 20.1 Si B= Se tiene 3 3 2 1

2 1 ,

,

−1 1 −3 0 =
B

=
B

−1 1

Paraello vea la figura 1. Ejemplo 20.2 Determine el polinomio p(x) sabiendo que su vector de coordenadas respecto a la base B = {v1 = 1 − 7 x, v2 = −5 − 4 x} es [p(x)]B = −6 2

Soluci´n o Recuerde que el vector de coordenadas se forma con los coeficientes de la combinaci´n lineal de los elementos o de la base para dar el vector: por tanto p(x) = −6 v1 + 2 v2 , es decir p(x) = −6 (1 − 7 x) + 2 (−5 − 4x) , por tanto p(x) = −6 + 42 x − 10 − 8 x = −16 + 34 x Ejemplo 20.3 Determine la matriz m sabiendo que su vector de coordenadas respecto a la base B= −3 5 1 −7 , 7 0 −5 −6 2 , 1 −1 −1 −4 , −7 −3 −3 −2

es [m]B

 −1  −2   =  −4  3



Soluci´n o Directamente de la definici´n de vector de coordenadas: o m = −1 desarrollando los productos m= por tanto m= −28 −18 −4 −3
3 −1 −5 7
−3 15 −7

−2

7 −5

0 −6

+4

1 −1

−1 −4

+3

−7 −3

−3 −2

+

−14 10

0 12

+

4 −4 −4 −16

+

−21 −9 −9 −6

Ejemplo 20.4 En P1 , determine el vector de coordenadas del polinomio p(x) = −2 − 5 x respecto a la base ordenada B = {v1 = 2 − 4 x, v2 = 4 + x} Soluci´n o Buscamos escalares c1 y c2 tales que: −2 − 5 x = p(x) = c1 (2 − 4 x) + c2 (4 + 1 x) Es decir −2 − 5 x =(2 c1 + 4c2 ) + (−4 c1 + 1 c2 )x Esto se convierte en el sistema 2 c1 + 4 c2 = −2 −4 c1 + 1 c2 = −5

Formando la matriz aumentada y reduci´ndola e 2 4 −2 −4 1 −5 Por tanto, c1 = 1 y c2 = −1 y [p(x)]B = 1 −1 → 1 0 1 0 1 −1

Ejemplo 20.5 En M2×2 , determine el vector de coordenadas de la matriz m= −4 −1 5 4

3

respecto a la base ordenada B=
4 0 −4 −5

,

−3 −1

0 −5

,

−5 −1−2 −2

,

5 −4 5 1

Soluci´n o Buscamos c1 , c2 , c3 , y c4 tales que: −4 −1 5 4 Es decir, tales que: −4 −1 5 4 = 4c1 − 3 c2 − 5 c3 + 5 c4 −4c1 + 0 c2 − 2 c3 − 4 c4 0c1 − 5 c2 − 1 c3 + 5 c4 −5c1 − 2 c2 − 2 c3 + 1 c4 = c1 4 −4 0 −5 + c2 −3 0 −1 −5 + c3 −5 −2 −1 −2 + c4 5 −4 5 1

Igualando cada entrada se convierte en el sistema: + − + − 4 c1 4 c1 0 c1 5 c1 − + − − 3 c2 0 c2 5 c2 2 c2 −...