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Universidad de Sonora Departamento de Matem´ticas a C´lculo II a Lista 15. 19 de Mayo, 2010. Teorema (Criterio de la integral para decidir sobre laconvergencia de un tipo de series)


Sea
k=1

ak una serie de t´rminos positivos y sea f (x) la funci´n que resulta cuando en el t´rmino general ak dela serie e o e 1 entonces


se sustituye k por x. Si la funci´n f es decreciente para x o


ak
k=1

y
1

f (x)dx

son ambas convergenteso ambas divergentes ∞ k Ejemplo Diga si la serie converge o diverge. ek 2
k=1
2 x x k . Remplazando k por x : x2 . Esta es la f (x) : f (x) = x2 = xe−x . ek 2 e e La integramos desde 1 hasta ∞ (integral impropia):

Soluci´n. T´rmino general: ak = o e



x e−x dx =
1

2

M M →∞

lim

xe−x dx
1

2

     

= = =

M →∞

lim

2 1 − e−x 2

M 1

Integraci´n o por sustituci´n: o u = −x2 , du = −2xdx, 1 ⇒ xdx = − 2 du

    



1 lim 2 M →∞ 1 . 2e

B0 ¨ −M 2 ¨ − e−1 e ¨

Como la integral impropia es convergente, se concluye que la serie tambien esconvergente (ojo: aunque no al valor 1/(2 e)) Ejercicios (Para entregar el viernes 21 de mayo, a las 9:00). Usando el citerio de la integral, diga si las seriesdadas convergen o divergen. ∞ ∞ k 1 2) 1) 5k + 2 1 + k2
k=1 ∞ k=1 ∞

3)

1 (4 + 2k)3/2 k=1


4)
k=1 ∞



1 k+5

5)
k=1 ∞

ln k k k2 + 1k2 + 3 tan−1 k 1 + k2

6)
k=1 ∞

1 (k + 1)[ln(k + 1)]2 1 k2 +1
2

7)
k=1 ∞

8)
k=1 ∞



9)
k=1

10)
k=1

k 2 e−k

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