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CAP´ ITULO 2 ´ NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS IA

2.1.

NOCIONES PRIMITIVAS

Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia. Conjunto Podemos entender al conjunto como, colecci´n, grupo de objetos o cosas. Por ejemplo, o el conjunto formado por los “objetos” 1, a, casa. Denotaremos a los conjuntos con letras may´sculas A, B, etc., as´ A es el conjunto u ı,formado por los elementos: 1, a, casa. Elemento Un elemento es cualquier objeto o cosa en el conjunto. Los denotamos con letras min´sculas y al elemento gen´rico lo denotamos x. u e Pertenencia Denotado por el s´ ımbolo ∈, relaciona las dos nociones primitivas anteriores. Si el elemento 1 est´ en el conjunto, anotamos: 1 ∈ A y se lee: “el elemento 1 pertenece al conjunto a A” o simplemente “1est´ en A”. a Si el elemento x no pertenece al conjunto A, escribimos: x ∈ A. / Conjuntos por extensi´n y por comprensi´n o o Un conjunto est´ descrito por extensi´n cuando exhibimos a todos sus elementos ena o cerrados en un par´ntesis de llave, as´ por ejemplo, A = {2, 3, 4}. e ı Un conjunto est´ descrito por comprensi´n cuando declaramos una propiedad que la a o cumplen s´lo y s´lo los elementosdel conjunto, por ejemplo, el conjunto A = {2, 3, 4} o o escrito por comprensi´n es: A = {x / x ∈ N/1 < x < 5}. o 13

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

Naturalmente que tambi´n podemos anotarlo: A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x ≤ 4}, e A = {x / x ∈ N / 1 < x ≤ 4}, ´ A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x < 5}. o

2.2.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Definici´n 2.2.1. Sean A y B conjuntos, decimosque A es subconjunto de B, lo que o denotamos A ⊆ B si y s´lo si “todos los elementos de A son tambi´n elementos de B”, es o e decir, A ⊆ B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B].

Ejemplo 2.2.1. Demuestre que A ⊆ A ∀ A (propiedad refleja). Soluci´n. Como ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ A, concluimos que A ⊆ A. o Ejemplo 2.2.2. Demuestre que [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ A ⊆ C ∀ A, B, C (transitividad). Soluci´n. o [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ [∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ C] ⇒ ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ C, de donde A ⊆ C. Observaci´n 2.2.1. A no es subconjunto de B, lo que denotamos A ⊂ B si y s´lo si “existe o o alg´n elemento en A que no est´ en B” es decir u a A ⊂ B ⇔ ∃ x : x ∈ A ∧ x ∈ B. /

Definici´n 2.2.2. Decimos que los conjuntos A y B son iguales, lo que denotamos A = B o si y s´lo si “todos los elementos de A sonelementos de B y todos los elementos de B son o elementos de A”, es decir A = B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ A] ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

2.3.

ALGUNOS CONJUNTOS IMPORTANTES

Conjunto Vac´ ıo Sea A un conjunto, entonces {x / x ∈ A∧x ∈ A} es un conjunto que no tiene elementos, / lo denotamos ∅A y es el conjunto “vac´ de A”. ıo Proposici´n 2.3.1. ∅A ⊆ A , ∀ A. o

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Demostraci´n. La realizaremos por reducci´n al absurdo. Supongamos que ∅A no es subo o conjunto de A, entonces ∃ x : x ∈ ∅A ∧ x ∈ A, esto constituye una contradicci´n ya que el / o conjunto ∅A no tiene elementos, entonces debe ocurrir que ∅A ⊆ A. Observaci´n 2.3.1. Note el uso de [p ⇒ (q ∧ (∼ q))] ⇒∼ p donde p : ∅A ⊂ A. o Proposici´n 2.3.2. ∅A = ∅B , ∀A, B. o Demostraci´n. Se debe demostrar que 1) ∅A ⊆ ∅B y 2) ∅B ⊆ ∅A . o 1) As´ es, ya que si no es cierto, es decir, si ∅A no es subconjunto de ∅B , debe exisı tir al menos un elemento que pertenezca a ∅A y que no est´ en ∅B ; esto es una a contradicci´n, por lo que ∅A ⊆ ∅B . o 2) De manera an´loga, ∅B ⊆ ∅A . a Por 1) y 2) concluimos que ∅A = ∅B . Observaci´n 2.3.2. Como todos los “vac´ o ıos”son iguales, denotamos simplemente ∅. Conjunto Unitario Es aquel conjunto que tiene un unico elemento. Se lee como, el unitario del elemento. ´ Ejemplo 2.3.1. A = {x / x ∈ N , 3 < x < 5} = {4} se lee “el unitario del 4”. Conjunto Universal U Se puede demostrar que no existe un conjunto universo que contenga a todos los conjuntos (Paradoja de Russel), en cambio existe un conjunto universo de...
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