Amortiguacion (vibraciones mecanicas)

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VIBRACIONES
 
 
 
Las vibraciones en los sistemas mecánicos son causadas por fuerzas externas, Una cuerda de violín vibra por la acción del arco, una viga de acero vibra si se golpea con un martillo y un puente vibra si lo cruza un contingente de soldados marchando con cierta cadencia. En esta sección se utilizan las ecuaciones diferenciales para analizar las vibraciones de un resorte
Segúnla ley de Hooke, la fuerza que se necesita para estirar un resorte y unidades a partir de su longitud natural es ky, para algún número real positivo k, que se llama constante de fuerza del resorte. La fuerza restauradora del resorte es – ky. Supongamos que se sujeta al resorte un cuerpo de peso W, y que en la posición de equilibrio el resorte se alarga una distancia l1 más allá de su longitudnatural l0, como se observa en la siguiente gráfica.
 
 
FIGURA 1
[pic]
 
Si g es la aceleración de la gravedad, y m la masa del cuerpo, entonces
W = mg y en posición de equilibrio
mg = kl o bien mg – kl = 0
suponiendo que la masa del resorte es despreciable compara con m
Supongamos que el cuerpo se tira hacia abajo y se suelta. Se introduce una recta coordenada como se observa en lasiguiente gráfica. Donde y denota la distancia (con signo) desde el punto de equilibrio hasta el centro de masa del cuerpo a los t segundos. La fuerza F que actúa sobre el cuerpo cuando la aceleración es a de acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, está dada por F = ma Suponiendo que el movimiento es no amortiguado, es decir que no hay ninguna fuerza externa en contra del movimiento, y queel cuerpo se mueve en un medio sin fricción, se ve que
F = mg – k(l1 + y) = mg – kl1 – ky = -ky
Como F ma y a = d²y/dt², esto implica que
m = d²y = - ky
dt²
Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre m se obtiene la siguiente ecuación diferencial
VIBRACIÓN SIN AMORTIGUAMIENTO (LIBRE) 15
|d²y/dt² + k/m * y = 0 |

 
EJEMPLO 1
Demostrarque si un cuerpo de masa m se encuentra en movimiento vibratorio no amortiguado, el movimiento armónico simple. Calcular el desplazamiento si el cuerpo se desplaza a una distancia I2 y luego desde velocidad cero.
Si denotamos k/m por w²
d² y + w²y = 0
dt²
las soluciones de la ecuación auxiliar m² + w² = 0 son ± wi. Por tanto, según el teorema como
y = C1 cos wt + C2 sen wt
Resulta que elcuerpo se encuentra en movimiento armónico simple. Si el cuerpo se lleva a una distancia I2 y luego se suelta desde velocidad cero , entonces a t = 0
I2 = C1 (1) + C2 (2) o bien C1 = I2
Como dy = - wC1 sen wt + wC2 cos wt,
Tenemos también (en t= 0) que
0 = - wC1(0) + w C2 (1) o bien C2 = 0
por lo tanto, el desplazamiento y del cuerpo al tiempo t es
y = I2 cos wt
Esta clase de movimiento ya seanalizó anteriormente . la amplitud (el desplazamiento máximo) es I y el período (el tiempo que tarda una oscilación completa) es 2π / √ m/k . En la siguiente gráfica se representa este tipo de movimiento.
FIGURA 2
[pic]
 
EJEMPLO 2
Un cuerpo que pesa 8 lbf estira resorte vertical 2 pie más allá de su longitud natural. Luego el cuerpo tiene otro desplazamiento de ½ pie y se suelta con unavelocidad inicial de 6 pie/s. Encontrar una fórmula para el desplazamiento del cuerpo en cualquier tiempo t.
SOLUCION. De la ley de Hooke, 8 = k(2) o bien k = 4. Si y es el desplazamiento del cuerpo con respecto a su posición de equilibrio al tiempo t, entonces, según la vibración sin amortiguamiento (libre)
 
d² y + 4 y = 0
dt² m
como W = mg, se tiene que m = W/g = 8/32 = ¼. Por lo tanto,
d² y+16 y = 0
dt²
Esto implica que
y = C1 cos 4t + C2 sen 4t
En t = 0, tenemos y = ½ y por lo tanto,
½ = C (1) + C (0) o bien C = ½ .
dy = -4C1 sen 4t + 4C2 cos 4t
dt
y dy/dt = -6 en t = 0, obtenemos
-6 = -4C (0) + 4C (1) o bien C = - ¾
Por lo que, el desplazamiento al tiempo t esta dado por
Yy = ½ cos 4t – ¾ sen 4t
Consideremos ahora el movimiento del resorte cuando hay una fuerza de...
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