Análisis de un péndulo.

Introducción.
Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas no-lineales, puede tomarse las siguientes alternativas:
1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformación apropiada de sus variables.
2. Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica o digital y calcular su solución numéricamente.
3. Desarrollar un sistema lineal queaproxime el comportamiento dinámico del sistema no-lineal alrededor del punto específico de operación.
En muchos casos el comportamiento local de un sistema no-lineal cerca de un punto de equilibrio se puede inferir a partir del sistema linealizado alrededor del punto y estudiar entonces el comportamiento lineal que resulta a partir de la linealización.
Linealización.
Linealización es el procesomatemático que permite aproximar un sistema no-lineal a un sistema lineal.
Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinámicos y él en el diseño de sistemas de control por las siguientes razones:
1. Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de sistemas lineales. Por lo tanto se tendrá una solución general del comportamiento del proceso, independientemente delos valores de los parámetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solución por computadora da una solución del comportamiento del sistema valida solo para valores específicos de los parámetros y de las variables de entrada.
 2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales.Variables de desviación.
Se define la variable de desviación, X(t) como la diferencia entre el valor de la variable o señal x(t) y su valor en el punto de operación. Matemáticamente se define:
Xt=xt-x
Donde:
Xt= Variable de desviación.
xt= Variable absoluta correspondiente.
x= El valor de x en el punto de operación.



Figura 1. Gráfico de lasvariables de desviación, variable absoluta y el punto de operación.
El valor base, es el valor de la variable en estado estable y generalmente describe el valor inicial del sistema dinámico y por lo tanto es constante, implicando que:
dxdt=0
Por lo tanto derivando n veces la ecuación, obtenemos:
dnX(t)dt2=dnx(t)dt2 , n=1,2,3,…
Y la transformada de Laplace es:
LdnX(t)dt2=snX(s)
Así laecuación linealizada en función de las variables de desviación no incluye términos constantes.
Linealización de funciones de una sola variable.
Considérese la ecuación diferencial de primer orden:
dx(t)dt=fxt+k
Donde fxt es una función no-lineal de x y k es una constante.
Expandiendo la función no-lineal fxt en series de Taylor alrededor del punto x se obtiene:fxt=fx+df(x)dxxt-x+12!d2f(x)dx2xt-x2+13!
Por lo tanto:
xt-x3+...
Esta expansión se evalúa en el punto x.
dx(t)dt≈fx+fx+df(x)dxxt-x
El error introducido en la aproximación es del mismo orden de la magnitud del término:
I=12d2f(x)dx2xt-x2
Por lo tanto la aproximación lineal dada en la ecuación es satisfactoria cuando x es muy cercano a x en ese caso el valor del termino I es muy pequeño.
Geométricamente, la aproximación esuna línea recta que pasa por el punto de, generalmente corresponde al valor de estado estacionario, entonces:

x0=x , X0=0
Por lo tanto:
dnX0dtn=0 para n=1,2,3,…
Por el punto x ,fx con pendiente dfx dx y es por definición tangente a la curva en el punto de operación. Por lo tanto, la aproximación es exacta solo en el punto de operación.
La aproximación linealizada, correspondiente ala ecuación original, resulta ser:
dx(t)dt=fx +dfx dx+k

Línea Tangente



Fig 2. La aproximación lineal es tangente a la función no lineal en el valor base.

Linealización de dos o más variables.
Considérese la función no-lineal de dos variables fxt,y(t) si x es el valor en estado estable de y(t). La expresión lineal en serie de Taylor alrededor del punto (x,y) esta dada por:...