An Lisis Matem Tico II V

Calculo en varias variables
Con aplicaciones a la física

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires

Realizado por: Pose, Fernando
Con la colaboración: Sergio
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Con aplicaciones a la física

(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + τ(ax , ay , az )

̅̅̅0 = (x0 , y0 , z0 ) es un punto perteneciente a la recta
(1)X
(2)t es un escalar.
̅ = (ax , ay , az ) es el vector director de la recta.
(3)A

x = x0 + τ ∗ ax
{y = y0 + τ ∗ ay
z = z0 + τ ∗ az
𝑡 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟.

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
ax
ay
az

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Ax + By + Cz + D = 0

(1)A, B, C no simultaneamente nulas
(2)n̅ = (nx , ny , nz ) = (A, B, C)

x = x 0 + τ . a x + α . bx
{y = y0 + τ . ay + α . by
z = z0 + τ . az + α . bz

(1)"𝜏"𝑦 "𝛼" 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

x y z
+ + =1
A B C

(1)𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛, 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
(2)𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝑠

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(𝛼 𝑦 𝛽)

𝑟 ∈ 𝑅+
(𝛼 𝑦 𝛽)
(𝛼 𝑦 𝛽)

(x − α)2 + (y − β)2 = r 2

{

x = h + r cos(θ)
para 0 ≤ θ ≤ 2π
y = k + r sen(θ)

(x−h)2
a2

{

+

(y−k)2
b2

=1

x = h + a cos(θ)
para 0 ≤ θ ≤ 2π
y = k + b sen(θ)

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y 2 = 2px

x=t
{y = t 2 para ∀t

(x−h)2
a2

{

−

(y−k)2
b2

=1

π π
π 3π
x = h + a sec(θ)
para θ ∈ (− ; ) ∪ ( ; )
y = k + b tg(θ)
2 2
2 2

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10 | P a g e

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{𝑥1 ; 𝑥2 ; … . . ; 𝑥𝑛 }

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 2 + 𝑎13 𝑥3 +. . … … . . +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 +. . … … . . +𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 +. . … … . . +𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3

{𝑥1 ; 𝑥2 ; … . . ; 𝑥𝑛 }

3𝑥1 + 4𝑥2 + 7𝑥3 + 𝑥4 = 2
𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 0

11 | P a g e

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{

3x + y = 22
4x − 3y = −1

3x + y = 22
{
4x − 3y = −1

{
y = 22 − 3x

4x − 66 + 9x = −1
13x = 65
x=5

y = 22 − 3x
−1 − 4x
y=
−3

−1 − 4x
−3
−66 + 9x = −1 − 4x
22 − 3x =

x=

y=7

{

2x + 3y = 5
5x + 6y = 4

−4x − 6y = −10
{
5x + 6y = 4

−4x − 6y + 5x + 6y = −6
−4x + 5x = −6
x = −6

65
=> 𝑥 = 5
13

y=7

y=

17
3

12 | P a g e

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13 | P a g e

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14 | P a g e

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𝑦 ′ + 2𝑦 − 1

(𝑦 ′′ )2 = 12𝑦′

𝑦 ′′′ = 0

15 | P a ge

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16 | P a g e

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f1 (x) g1 (y)dx + f2 (x) g 2 (y)dy = 0 donde y = f(x)

y′ =

f1 (x) g1 (y)
−f2 (x) g 2 (y)

P=
(x, y) buscando la constante...