Analisis de graficas

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Análisis de Gráficas*

Es difícil exagerar la importancia de las gráficas en matemáticas. La introducción, por Descartes, de la Geometría analítica contribuyó decisivamente al rápido avance del Cálculo en la mitad del siglo XVII. En palabras de Lagrange, «Mientras Álgebra y Geometría hicieron su camino por separado, su avance fue lento y sus aplicaciones limitadas. Pero cuando se unieron,captaron una de otra vitalidad y frescura, marchando con paso decidido hacia la perfección». Existen varios conceptos que resultan útiles al analizar gráficas de funciones. Intersecciones con los ejes: son los puntos en los que la gráfica corta (se intersecta con) el eje x o eje y. Para determinar las x-intersecciones de una gráfica se iguala y a cero y se resuelve la ecuación en x resultante. Análogamente,para hallar las y-intersecciones de una gráfica, igualamos x a cero y resolvemos la ecuacion en y resultante. Ejemplo: Encontrar las intersecciones con los ejes de la gráfica de y = x3 − 4x Solución: Para determinar las x-intersecciones, igualamos y a cero y despejamos x x3 − 4x = 0 x(x − 2)(x + 2) = 0 x = 0, 2, −2 Puesto que esta ecuación admite tres soluciones, se puede concluir que la gráficatiene tres x-intersecciones (0,0), (2,0) y (-2,0). Para hallar las yintersecciones, igualamos x a cero. resulta entonces y = 0. Por tanto, la y-intersección es (0,0) Simetrías: Estos son los tres tipos de simetría que suelen presentarse en el análisis de las gráficas. 1. La gráfica de una ecuación en x e y es simétrica respecto al eje y si al sustituir x por −x en la ecuación se obtiene una ecuaciónequivalente.
* Tomado de Cálculo volumen 1; R. Larson, R. Hostetler, B. Edwards; Ed Mc Graw Hill; España; 1999.

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2. La gráfica de una ecuación en x e y es simétrica respecto al eje x si al sustituir y por −y en la ecuación resulta una ecuación equivalente. 3. La gráfica de una ecuación en x e y es simétrica respecto al origen si al sustituir x por −x e y e −y en la ecuación produce unaecuación equivalente. Ejemplo: Comprobar que la gráfica de y = 2x3 − x es simétrica respecto al origen. Solución: y = 2x3 - x -y = 2(-x)3 - (-x) -y = -2x3 + x y = 2x3 - x
Ecuación Original Sustituir x por −x e y por −y Simplificar Ecuación equivalente

Dominio y recorrido: El dominio de una función puede describirse explícitamente, o bien implícitamente mediante la ecuación empleada para definir lafunción. El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que está definida la ecuación, mientras que un dominio definido explícitamente es el que se da junto con la función. Ejemplo: Calcular el dominio y el recorrido de la siguiente función: f (x) = √ x−1

Solución: para esta situación es el conjunto de valores que hacen que x − 1 = 0, sea mayor o igual que cero; √ decir elintervalo [1, ∞). Para hallar el recorries do, se observa que f (x) = x − 1 nunca es negativo. Así pues, el recorrido es el intervalo [0, ∞). Continuidad: Decimos que una función f es continua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes. 1. f (c) está definida. 2. l´ f (x) existe. ım
x→c

3. l´ f (x) = f (c). ım
x→c

Continuidad en un intervalo abierto: Decimos que una función escontinua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real (-∞, ∞) se llama continua en todas partes. Asíntotas verticales: sean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contiene c. Si f (c) = 0, g(c) = 0, y existe un intervalo abierto que 2

contiene c tal que g(x) = 0 para todo x = c del intervalo, entonces lagrafica de la función f (x) h(x) = g(x) posee una asíntota vertical en x = c. Ejemplo: Hallar la asíntota vertical de la siguiente función: f (x) =
1 2(x+1)

Solución: en este caso son los valores que hacen que el denominador sea igual a cero 2(x + 1) = 0. Cuando x = −1, el denominador es 0 y el numerador es diferente de 0. Por tanto, se puede concluir que x = −1 es una asíntota vertical....
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